דלג לתוכן

חקירה של פונקציה רציונלית

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 23 מתוך 26לימוד

חקירה של פונקציה רציונלית

שלבי החקירה

חקירה של פונקציה רציונלית מתחילה במה שרואים בביטוי עצמו, ורק אחר כך עוברת לנגזרת:

  • תחום ההגדרה: המכנה שונה מ־0.
  • אסימפטוטות ונקודות אי־רציפות סליקות: כל נקודת אפס של המכנה – אסימפטוטה אנכית, או חור אם היא מאפסת גם את המונה; אסימפטוטה אופקית – לפי מה שהפונקציה מתקרבת אליו כש־x\displaystyle x גדל או קטן בלי סוף.
  • זוגיות: מחשבים את f(−x)\displaystyle f(-x) ומשווים ל־f(x)\displaystyle f(x) ול־−f(x)\displaystyle -f(x).
  • חיתוך עם הצירים: f(x)=0\displaystyle {f(x)}={0} – המונה מתאפס; x=0\displaystyle {x}={0} – אם 0 בתחום ההגדרה.
  • נגזרת: לפי הכלל של נגזרת מנה, ופותרים f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.
  • טבלת סימנים של f′\displaystyle f': בין כל שתי נקודות שבהן f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0} או שבהן הפונקציה לא מוגדרת – הסימן יכול להתחלף גם מעבר לאסימפטוטה אנכית.
  • נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה – מהטבלה, ואז סקיצה: קודם האסימפטוטות בקו מקווקו, אחר כך הנקודות שמצאתם.
דוגמה: x2x2−4\displaystyle \frac{x^2}{x^2-4}

בדוגמה שלפניכם נחקור את f(x)=x2x2−4\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2}{x^2-4}} לפי השלבים:

  • תחום ההגדרה: x2−4=0\displaystyle {x^2-4}={0} כש־x=±2\displaystyle {x}={\pm2}, ולכן x≠2\displaystyle x\neq2, x≠−2\displaystyle x\neq-2.
  • המונה לא מתאפס ב־±2\displaystyle \pm2: אסימפטוטות אנכיות x=2\displaystyle {x}={2} ו־x=−2\displaystyle {x}={-2}.
  • המונה והמכנה מאותה מעלה, והמקדמים של x2\displaystyle x^2 הם 1 ו־1: אסימפטוטה אופקית y=1\displaystyle {y}={1}.
  • f(−x)=(−x)2(−x)2−4=f(x)\displaystyle {f(-x)}={\frac{(-x)^2}{(-x)^2-4}}={f(x)}: הפונקציה זוגית, והגרף סימטרי לציר ה־y\displaystyle y.
  • חיתוך עם הצירים: רק (0,0)\displaystyle (0,0).

הנגזרת:

f′(x)=2x(x2−4)−x2⋅2x(x2−4)2=−8x(x2−4)2f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-x^2\cdot2x}{(x^2-4)^2}=\frac{-8x}{(x^2-4)^2}

המכנה חיובי בכל תחום ההגדרה, ולכן הסימן של f′\displaystyle f' הוא הסימן של −8x\displaystyle -8x:

x\displaystyle xx<−2\displaystyle x<-2−2<x<0\displaystyle -2<x<00\displaystyle 00<x<2\displaystyle 0<x<2x>2\displaystyle x>2
f′(x)\displaystyle f'(x)++0−−
f(x)\displaystyle f(x)עולהעולהמקסימוםיורדתיורדת
f(x)=x2x2−4\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}
x=−2\displaystyle x=-2
x=2\displaystyle x=2
y=1\displaystyle y=1
(0,0)\displaystyle (0,0)
  • הפונקציה עולה כש־x<−2\displaystyle x<-2 וכש־−2<x<0\displaystyle -2<x<0, ויורדת כש־0<x<2\displaystyle 0<x<2 וכש־x>2\displaystyle x>2.
  • (0,0)\displaystyle (0,0) – נקודת מקסימום.
  • בין −2\displaystyle -2 ל־2 הפונקציה שלילית חוץ מב־0, ולכן הגרף שם “כיפה” שקודקודה בראשית הצירים.
נקודת אי־רציפות סליקה

כשמספר מאפס גם את המונה וגם את המכנה, אפשר לצמצם את הגורם המשותף. הפונקציה המצומצמת שווה לפונקציה המקורית בכל מקום – חוץ מבנקודה הזאת, שבה המקורית לא מוגדרת. בגרף יש שם חור: נקודת אי־רציפות סליקה.

למשל, f(x)=x2−xx2−1\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2-x}{x^2-1}}:

  • f(x)=x(x−1)(x−1)(x+1)=xx+1\displaystyle {f(x)}={\frac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)}}={\frac{x}{x+1}}, בתנאי x≠1\displaystyle x\neq1.
  • x=−1\displaystyle {x}={-1} מאפס רק את המכנה: אסימפטוטה אנכית x=−1\displaystyle {x}={-1}.
  • x=1\displaystyle {x}={1} מאפס את שניהם: חור בנקודה (1,11+1)=(1,12)\displaystyle {\left(1,\frac{1}{1+1}\right)}={\left(1,\frac{1}{2}\right)}.
f(x)=xx+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}
x=−1\displaystyle x=-1
y=1\displaystyle y=1
H=(1,0.5)\displaystyle H=(1,0.5)
  • את הנגזרת נוח לחשב מהביטוי המצומצם: f′(x)=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2=1(x+1)2>0\displaystyle {f'(x)}={\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}}={\frac{1}{(x+1)^2}>0}.
  • הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה, ואין לה נקודות קיצון.
תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=x2+4x\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2+4}{x}}.

א

מהו תחום ההגדרה של f\displaystyle f?
הראו ש־f\displaystyle f אי־זוגית.
כתבו את האסימפטוטה האנכית שלה.

ב

מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

f(x)=x2+4x\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+4}{x}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ג

    פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

      ד

      פתרו את אי־השוויון f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0.

        ה

        סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.

        f(x)=x2+4x\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+4}{x}
        x=0\displaystyle x=0

        ו

        כתבו את תחומי העלייה והירידה ואת הסוג של כל נקודת קיצון.
        שימו לב: ערך המקסימום קטן מערך המינימום – איך זה ייתכן?

        תרגיל 2

        נתונה הפונקציה f(x)=x(x−1)2\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{(x-1)^2}}.

        א

        כתבו בלוח את המשוואות של האסימפטוטה האנכית ושל האסימפטוטה האופקית.

        f(x)=x(x−1)2\displaystyle f(x)=\frac{x}{(x-1)^{2}}

        ב

        מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x) וצמצמו את השבר.

        f(x)=x(x−1)2\displaystyle f(x)=\frac{x}{(x-1)^{2}}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ג

          פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

            ד

            סמנו על הגרף את נקודת הקיצון.

            f(x)=x(x−1)2\displaystyle f(x)=\frac{x}{(x-1)^{2}}
            x=1\displaystyle x=1

            ה

            בנו טבלת סימנים של f′\displaystyle f' – כולל משני הצדדים של x=1\displaystyle {x}={1}.
            כתבו את תחומי העלייה והירידה.

            תרגיל 3

            נתונה הפונקציה f(x)=x2−4x2−2x\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2-4}{x^2-2x}}.

            א

            מצאו את נקודות האפס של המכנה.

              ב

              צמצמו את השבר.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג

                כתבו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטות ואת הנקודה שבה יש חור בגרף.

                ד

                גזרו את הביטוי המצומצם.

                f(x)=x+2x\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x}

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ה

                  האם יש ל־f\displaystyle f נקודות קיצון?
                  כתבו את תחומי העלייה והירידה שלה.

                  תרגיל 4

                  נתונה הפונקציה f(x)=4xx2+1\displaystyle {f(x)}={\frac{4x}{x^2+1}}.

                  א

                  מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

                  f(x)=4xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x^{2}+1}

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ב

                    פתרו את אי־השוויון f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0: מהם תחומי הירידה של f\displaystyle f?

                      ג

                      סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.

                      f(x)=4xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x^{2}+1}

                      ד

                      ל־f\displaystyle f אסימפטוטה אופקית y=0\displaystyle {y}={0}.
                      כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=1\displaystyle {f(x)}={1}? ולמשוואה f(x)=3\displaystyle {f(x)}={3}?
                      נמקו לפי נקודות הקיצון והאסימפטוטה.

                      f(x)=1\displaystyle {f(x)}={1}

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        f(x)=3\displaystyle {f(x)}={3}

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          תרגיל 5

                          כתבו פונקציה רציונלית שיש לה כל התכונות האלה:

                          • אסימפטוטה אנכית x=2\displaystyle {x}={2};
                          • אסימפטוטה אופקית y=3\displaystyle {y}={3};
                          • הגרף עובר בראשית הצירים.

                          הסבירו למה הפונקציה שכתבתם מתאימה.