חקירת פונקציית שורש

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 20 מתוך 26לימוד

חקירת פונקציית שורש

שלבי החקירה

חוקרים פונקציית שורש כמו פולינום, ובשני הבדלים: תחום ההגדרה מוגבל, ולקצוות שלו יש תפקיד.

תחום ההגדרה: מה שמתחת לשורש $\displaystyle \geq0$ .
נקודות החיתוך עם הצירים.
הנגזרת, ופתרון $\displaystyle {f'(x)}={0}$ . הנגזרת לא מוגדרת בקצה שבו השורש מתאפס.
טבלת סימנים של $\displaystyle f'$ , שמתחילה ומסתיימת בקצות תחום ההגדרה.
נקודות קיצון: גם נקודה בקצה של תחום ההגדרה היא נקודת קיצון – קיצון בקצה – לפי מה שהפונקציה עושה לידה.
סקיצה של הגרף.

דוגמה:

\displaystyle \sqrt{4-x^2}

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{4-x^2}}$ .

תחום ההגדרה: $\displaystyle 4-x^2\geq0$ , כלומר $\displaystyle -2\leq x\leq2$ .
נקודות האפס: $\displaystyle (-2,0)$ ו־ $\displaystyle (2,0)$ ; ועם ציר ה־ $\displaystyle y$ : $\displaystyle (0,2)$ .
$\displaystyle {f'(x)}={\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}}={\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}}$ , והיא מתאפסת ב־ $\displaystyle {x}={0}$ .

$\displaystyle x$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle -2<x<0$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 0<x<2$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle f'(x)$		+	0	−
$\displaystyle f(x)$	מינימום בקצה	עולה	מקסימום	יורדת	מינימום בקצה

\displaystyle f(x)=\sqrt{4-x^{2}}

\displaystyle A=(0,2)

\displaystyle B=(-2,0)

\displaystyle C=(2,0)

$\displaystyle (0,2)$ – נקודת מקסימום.
$\displaystyle (-2,0)$ ו־ $\displaystyle (2,0)$ – נקודות מינימום בקצה: מ־ $\displaystyle -2$ הפונקציה עולה, ואל 2 היא יורדת.
הגרף הוא חצי מעגל: $\displaystyle {y}={\sqrt{4-x^2}}$ הוא החצי העליון של המעגל $\displaystyle {x^2+y^2}={4}$ .

דוגמה:

\displaystyle x\sqrt{4-x}

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={x\sqrt{4-x}}$ , מכפלה של $\displaystyle x$ בשורש.

תחום ההגדרה: $\displaystyle 4-x\geq0$ , כלומר $\displaystyle x\leq4$ .
נקודות האפס: $\displaystyle {x}={0}$ ו־ $\displaystyle {x}={4}$ .
לפי כלל המכפלה ונגזרת השורש:

f'(x)=\sqrt{4-x}+x\cdot\frac{-1}{2\sqrt{4-x}}=\frac{2(4-x)-x}{2\sqrt{4-x}}=\frac{8-3x}{2\sqrt{4-x}}

$\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש־ $\displaystyle {8-3x}={0}$ , כלומר $\displaystyle {x}={\frac{8}{3}}$ . המכנה חיובי, ולכן הסימן של $\displaystyle f'$ הוא הסימן של $\displaystyle 8-3x$ .

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<\frac{8}{3}$	$\displaystyle \frac{8}{3}$	$\displaystyle \frac{8}{3}<x<4$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle f'(x)$	+	0	−
$\displaystyle f(x)$	עולה	מקסימום	יורדת	מינימום בקצה

\displaystyle f(x)=x\sqrt{4-x}

\displaystyle A=(2.67,3.08)

\displaystyle B=(4,0)

$\displaystyle {f\left(\frac{8}{3}\right)}={\frac{8}{3}\sqrt{\frac{4}{3}}}={\frac{16}{3\sqrt{3}}}={\frac{16\sqrt{3}}{9}\approx3.08}$ : נקודת מקסימום.
$\displaystyle (4,0)$ – נקודת מינימום בקצה.
כש־ $\displaystyle x$ קטן בלי סוף, גם $\displaystyle f(x)$ קטן בלי סוף, ולכן אין לפונקציה מינימום מוחלט.

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x^2-2x+5}}$ .

הסבירו למה $\displaystyle f$ מוגדרת לכל $\displaystyle x$ .
רמז: הדיסקרימיננטה של $\displaystyle x^2-2x+5$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}-2x+5}$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

חשבו את ערך הפונקציה בנקודה שמצאתם.

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}-2x+5}$

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון של $\displaystyle f$ .

\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}-2x+5}

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(x-3)\sqrt{x}}$ .
תחום ההגדרה שלה הוא $\displaystyle x\geq0$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ לפי כלל המכפלה.

$\displaystyle f(x)=(x-3)\sqrt{x}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

חשבו את ערך הפונקציה בנקודה שמצאתם.

$\displaystyle f(x)=(x-3)\sqrt{x}$

סמנו על הגרף את נקודות האפס ואת נקודת הקיצון שמצאתם.

\displaystyle f(x)=(x-3)\sqrt{x}

כתבו את תחומי העלייה והירידה של $\displaystyle f$ , ואת כל נקודות הקיצון שלה – גם בקצה תחום ההגדרה.
קבעו את הסוג של כל אחת.

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{6x-x^2}}$ .

מצאו את תחום ההגדרה של $\displaystyle f$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\sqrt{6x-x^{2}}$

$\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש־ $\displaystyle {x}={3}$ .
חשבו את $\displaystyle f(3)$ .

$\displaystyle f(x)=\sqrt{6x-x^{2}}$

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון שבתוך תחום ההגדרה.

\displaystyle f(x)=\sqrt{6x-x^{2}}

כתבו את כל נקודות הקיצון של $\displaystyle f$ , כולל נקודות הקיצון בקצה, וקבעו את הסוג שלהן.

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x-2\sqrt{x}}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x-2\sqrt{x}$

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f'(x)<0$ : מהו תחום הירידה של $\displaystyle f$ ?

חשבו את ערך הפונקציה בקצה הימני של תחום הירידה.

$\displaystyle f(x)=x-2\sqrt{x}$

כתבו את נקודות הקיצון של $\displaystyle f$ , כולל הקיצון בקצה, וקבעו את הסוג שלהן.
האם יש ל־ $\displaystyle f$ מקסימום מוחלט? נמקו.

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}}$ .
הנגזרת שלה היא $\displaystyle {f'(x)}={\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}}$ .

מצאו את תחום ההגדרה של $\displaystyle f$ .

$\displaystyle {f'(x)}={0}$ כששני השברים שווים.
פתרו את המשוואה.

חשבו את ערך הפונקציה בנקודה שמצאתם.

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}$

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון שבתוך התחום.
חשבו את ערכי הפונקציה בקצות התחום, וכתבו את כל נקודות הקיצון ואת הסוג שלהן.

\displaystyle f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$