פולינום כמכפלת גורמים

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 3 מתוך 26לימוד

פולינום כמכפלת גורמים

נקודות האפס מהגורמים

כשפולינום כתוב כמכפלת גורמים, רואים בו מיד את נקודות האפס: מכפלה היא 0 רק כשאחד הגורמים הוא 0.

בדוגמה שלפניכם נקרא כך את $\displaystyle {f(x)}={(x+2)(x-1)(x-3)}$ :

נקודות האפס: $\displaystyle {x}={-2}$ , $\displaystyle {x}={1}$ , $\displaystyle {x}={3}$ .
כשנפתח את הסוגריים, האיבר עם החזקה הגבוהה יהיה $\displaystyle {x\cdot x\cdot x}={x^3}$ : מעלה שלישית, והמקדם שלה חיובי. לכן הקצה השמאלי של הגרף פונה למטה, והימני למעלה.
בכל נקודת אפס גורם אחד מחליף סימן, ולכן גם המכפלה מחליפה סימן:

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<-2$	$\displaystyle -2<x<1$	$\displaystyle 1<x<3$	$\displaystyle x>3$
$\displaystyle f(x)$	−	+	−	+

ריבוי של נקודת אפס

גורם יכול להופיע בחזקה. ב־ $\displaystyle (x-1)^2$ נקודת האפס $\displaystyle {x}={1}$ היא מריבוי 2, וב־ $\displaystyle (x-1)^3$ – מריבוי 3.

ריבוי אי־זוגי (1, 3 …): הגורם מחליף סימן, והגרף חוצה את ציר ה־ $\displaystyle x$ .
ריבוי זוגי (2, 4 …): הגורם לא שלילי משני הצדדים, והגרף רק נוגע בציר ה־ $\displaystyle x$ וחוזר.

בלוח שלפניכם $\displaystyle {f(x)}={(x+2)(x-1)^2}$ : ב־ $\displaystyle {x}={-2}$ הגרף חוצה את הציר, וב־ $\displaystyle {x}={1}$ הוא נוגע בו. הפונקציה שלילית כש־ $\displaystyle x<-2$ , וחיובית כש־ $\displaystyle -2<x<1$ וגם כש־ $\displaystyle x>1$ .

\displaystyle f(x)=(x+2)(x-1)^{2}

גורם ריבועי בלי שורשים

גורם כמו $\displaystyle x^2+1$ או $\displaystyle x^2+x+1$ אינו מתאפס אף פעם (הדיסקרימיננטה שלו שלילית), ולכן הוא חיובי לכל $\displaystyle x$ .

גורם כזה לא מוסיף נקודות אפס ולא משנה סימן.
הוא כן משנה את המעלה ואת הצורה של הגרף.
ל־ $\displaystyle {f(x)}={(x-2)(x^2+1)}$ יש נקודת אפס אחת, $\displaystyle {x}={2}$ : שלילית כש־ $\displaystyle x<2$ וחיובית כש־ $\displaystyle x>2$ , כמו $\displaystyle x-2$ .

סקיצה של פולינום

מהגורמים לבד אפשר לשרטט סקיצה של הגרף, בארבעה צעדים:

נקודות האפס והריבוי של כל אחת.
האיבר עם החזקה הגבוהה: לאן פונים הקצוות.
טבלת סימנים.
קו שעובר בנקודות האפס, חוצה או נוגע לפי הריבוי, ומתאים לטבלה.

בדוגמה שלפניכם נשרטט את $\displaystyle {f(x)}={x(x+2)(x-2)^2}$ :

נקודות האפס: $\displaystyle {x}={-2}$ ו־ $\displaystyle {x}={0}$ מריבוי 1 (חוצה), $\displaystyle {x}={2}$ מריבוי 2 (נוגע).
החזקה הגבוהה: $\displaystyle {x\cdot x\cdot x^2}={x^4}$ – מעלה זוגית ומקדם חיובי: שני הקצוות פונים למעלה.
הסימנים: חיובית כש־ $\displaystyle x<-2$ , שלילית כש־ $\displaystyle -2<x<0$ , וחיובית כש־ $\displaystyle 0<x<2$ וכש־ $\displaystyle x>2$ .

\displaystyle f(x)=x(x+2)(x-2)^{2}

הגרף בלוח מתאים לכל הצעדים. את המקומות המדויקים של השקע בין $\displaystyle -2$ ל־0 ושל הפסגה בין 0 ל־2 הגורמים לא מגלים.

מה הגורמים לא מגלים

הגורמים מגלים כמה נקודות קיצון יש לפחות, אבל לא איפה הן:

בין שתי נקודות אפס סמוכות הגרף יוצא מהציר וחוזר אליו, ולכן יש ביניהן לפחות נקודת קיצון אחת.
בנקודת אפס מריבוי זוגי יש נקודת קיצון: הגרף נוגע בציר וחוזר.
לא כל פולינום אפשר לפרק לגורמים בקלות: ל־ $\displaystyle x^3+x+1$ יש נקודת אפס בין $\displaystyle -1$ ל־0, אבל היא לא מספר שקל למצוא.

כדי למצוא את נקודות הקיצון בדיוק צריך כלי חדש – הנגזרת, שתלמדו בהמשך הקורס.

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(x-1)(x+3)(x-4)}$ .

מצאו את נקודות האפס של $\displaystyle f$ .

לאן פונים הקצוות של הגרף?
בנו טבלת סימנים של $\displaystyle f$ .

סמנו על הגרף את נקודות האפס, ובדקו את הטבלה שלכם.

\displaystyle f(x)=(x-1)(x+3)(x-4)

תרגיל 2

בלוח שלפניכם גרף של פולינום ממעלה שלישית.
המקדם של $\displaystyle x^3$ הוא 1.
הגרף חותך את ציר ה־ $\displaystyle y$ בנקודה $\displaystyle (0,4)$ .
כתבו בשורה של הלוח את הפונקציה, כמכפלת גורמים.

\displaystyle f(x)=\,?

\displaystyle A=(0,4)

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-4x}$ .

פרקו את $\displaystyle f(x)$ לגורמים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מצאו את נקודות האפס של $\displaystyle f$ .

בנו טבלת סימנים של $\displaystyle f$ .
האם $\displaystyle f$ זוגית, אי־זוגית או לא זה ולא זה?
איך רואים את זה בטבלה?

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(x^2+4)(x-3)}$ .

מצאו את נקודות האפס של $\displaystyle f$ .

הסבירו למה ל־ $\displaystyle f$ רק נקודת אפס אחת, אף שהיא ממעלה שלישית.
כתבו את תחומי החיוביות והשליליות של $\displaystyle f$ .

תרגיל 5

בלוח שלפניכם גרף של פולינום ממעלה שלישית.
המקדם של $\displaystyle x^3$ הוא $\displaystyle -1$ .
כתבו בשורה של הלוח את הפונקציה, כמכפלת גורמים.

\displaystyle f(x)=\,?

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={-(x+1)^2(x-2)(x-4)}$ .
ענו בלי לפתוח סוגריים:

מהי המעלה של $\displaystyle f$ , ולאן פונים הקצוות של הגרף?
באילו נקודות אפס הגרף חוצה את ציר ה־ $\displaystyle x$ , ובאילו הוא נוגע בו?
בנו טבלת סימנים של $\displaystyle f$ .
כמה נקודות קיצון יש ל־ $\displaystyle f$ לפחות? נמקו.

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$