בעיות ערך קיצון בפולינומים

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 16 מתוך 26לימוד

בעיות ערך קיצון בפולינומים

שלבי הפתרון

בעיית ערך קיצון שואלת מתי גודל כלשהו – שטח, נפח, רווח, גובה – הכי גדול או הכי קטן. הנגזרת עונה עליה אחרי שהגודל נכתב כפונקציה:

בוחרים משתנה $\displaystyle x$ , וכותבים בעזרתו את כל האורכים או הכמויות.
כותבים את הגודל שצריך להגדיל או להקטין כפונקציה של $\displaystyle x$ .
קובעים את התחום: אילו ערכי $\displaystyle x$ אפשריים בבעיה.
גוזרים, פותרים $\displaystyle {f'(x)}={0}$ , ובודקים בטבלת סימנים שזה מקסימום או מינימום.
עונים על השאלה שנשאלה, במילים ועם יחידות.

גדר לאורך קיר

בדוגמה שלפניכם נמצא את הגינה המלבנית הגדולה ביותר שאפשר לגדר ב־60 מטר גדר, כשצלע אחת שלה היא קיר שלא צריך לגדר.

$\displaystyle x$ – אורך כל אחת משתי הצלעות שמאונכות לקיר, במטרים. הצלע שמקבילה לקיר: $\displaystyle 60-2x$ .
השטח: $\displaystyle {A(x)}={x(60-2x)}={60x-2x^2}$ .
התחום: כל הצלעות חיוביות, ולכן $\displaystyle 0<x<30$ .
$\displaystyle {A'(x)}={60-4x}={0}$ כש־ $\displaystyle {x}={15}$ . לפני 15 הנגזרת חיובית ואחריו שלילית – מקסימום.
$\displaystyle {A(15)}={15\cdot30}={450}$ .

הגינה הגדולה ביותר: 15 מטר על 30 מטר, ששטחה 450 מ"ר.

את הבעיה הזאת אפשר לפתור גם בלי נגזרת: $\displaystyle {A(x)}={-2x^2+60x}$ היא פרבולה “בוכה”, והמקסימום שלה בקודקוד, $\displaystyle {x}={\frac{-60}{2\cdot(-2)}}={15}$ .

קופסה פתוחה

מגיליון קרטון ריבועי שהצלע שלו 24 ס"מ גוזרים בכל פינה ריבוע שהצלע שלו $\displaystyle x$ , ומקפלים את השוליים לקופסה בלי מכסה. בדוגמה שלפניכם נמצא את הנפח הגדול ביותר של הקופסה.

הבסיס ריבוע שהצלע שלו $\displaystyle 24-2x$ , והגובה $\displaystyle x$ : $\displaystyle {V(x)}={x(24-2x)^2}$ .
התחום: $\displaystyle 0<x<12$ .
לפי כלל המכפלה וכלל הפונקציה המורכבת: $\displaystyle {V'(x)}={(24-2x)^2+x\cdot2(24-2x)\cdot(-2)}={(24-2x)(24-6x)}$ .
$\displaystyle {V'(x)}={0}$ כש־ $\displaystyle {x}={12}$ (מחוץ לתחום) או $\displaystyle {x}={4}$ . לפני 4 הנגזרת חיובית ואחריו שלילית – מקסימום.
$\displaystyle {V(4)}={4\cdot16^2}={1024}$ .

הנפח הגדול ביותר הוא 1024 סמ"ק, כשגוזרים ריבועים שהצלע שלהם 4 ס"מ.

תחום סגור והמשמעות של הקיצון

כדור נזרק למעלה, והגובה שלו במטרים אחרי $\displaystyle t$ שניות הוא $\displaystyle {h(t)}={20t-5t^2}$ , עד שהוא נוחת אחרי 4 שניות. התחום סגור: $\displaystyle 0\leq t\leq4$ .

$\displaystyle {h'(t)}={20-10t}={0}$ כש־ $\displaystyle {t}={2}$ , ו־ $\displaystyle {h(2)}={20}$ .
בקצות: $\displaystyle {h(0)}={0}$ ו־ $\displaystyle {h(4)}={0}$ .
לכן הגובה הגדול ביותר הוא 20 מטר, אחרי 2 שניות. ברגע הזה המהירות $\displaystyle h'(2)$ היא 0: הכדור מפסיק לעלות ומתחיל ליפול.

בתחום סגור הקיצון המוחלט יכול להיות גם בקצה, ולכן תמיד משווים את הערכים בקצות לערכים בנקודות שבהן $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

תרגיל 1

הסכום של שני מספרים חיוביים הוא 12.
$\displaystyle x$ – אחד המספרים; המספר השני: $\displaystyle 12-x$ .
מעלים את $\displaystyle x$ בריבוע וכופלים במספר השני: $\displaystyle {f(x)}={x^2(12-x)}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{2}(12-x)$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

חשבו את $\displaystyle f(8)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{2}(12-x)$

מהם שני המספרים שבהם המכפלה הכי גדולה?
נמקו שזה מקסימום.

\displaystyle x

\displaystyle 12-x

תרגיל 2

מלבן חסום מתחת לפרבולה $\displaystyle {y}={12-x^2}$ : שני קודקודים שלו על ציר ה־ $\displaystyle x$ , בנקודות $\displaystyle (-x,0)$ ו־ $\displaystyle (x,0)$ , ושני הקודקודים האחרים על הפרבולה.
השטח של המלבן: $\displaystyle {A(x)}={2x(12-x^2)}$ .

\displaystyle f(x)=12-x^{2}

מצאו את $\displaystyle A'(x)$ .

$\displaystyle A(x)=2x(12-x^{2})$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {A'(x)}={0}$ .

חשבו את השטח הגדול ביותר.

$\displaystyle A(x)=2x(12-x^{2})$

מהו התחום של $\displaystyle x$ ?
מהן הצלעות של המלבן הגדול ביותר?

\displaystyle 2x

\displaystyle 12-x^2

תרגיל 3

מגיליון מלבני שהצלעות שלו 16 ס"מ ו־10 ס"מ גוזרים בכל פינה ריבוע שהצלע שלו $\displaystyle x$ , ומקפלים לקופסה בלי מכסה.
הנפח: $\displaystyle {V(x)}={x(16-2x)(10-2x)}$ .

מצאו את $\displaystyle V'(x)$ .

$\displaystyle V(x)=x(16-2x)(10-2x)$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {V'(x)}={0}$ .

מהו התחום של $\displaystyle x$ ?
איזה פתרון מסעיף ב נשאר?

\displaystyle x

חשבו את הנפח הגדול ביותר.

$\displaystyle V(x)=x(16-2x)(10-2x)$

תרגיל 4

מפעל מייצר ביום $\displaystyle x$ מאות מוצרים, ו־ $\displaystyle 0\leq x\leq8$ .
הרווח היומי, באלפי שקלים: $\displaystyle {P(x)}={-x^3+6x^2+15x}$ .
הנגזרת: $\displaystyle {P'(x)}={-3x^2+12x+15}$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {P'(x)}={0}$ .

חשבו את הרווח בנקודה שמצאתם בתחום ובקצה $\displaystyle {x}={8}$ .

הקיצון

$\displaystyle P(x)=-x^{3}+6x^{2}+15x$

\displaystyle P(8)

$\displaystyle P(x)=-x^{3}+6x^{2}+15x$

כמה מוצרים כדאי למפעל לייצר ביום, ומה הרווח אז?
מה המשמעות של $\displaystyle P(8)$ ?

תרגיל 5

כדור נזרק למעלה.
הגובה שלו במטרים אחרי $\displaystyle t$ שניות: $\displaystyle {h(t)}={1.5+14t-5t^2}$ .

מצאו את $\displaystyle h'(t)$ , המהירות של הכדור.

$\displaystyle h(t)=1.5+14t-5t^{2}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {h'(t)}={0}$ : מתי הכדור מפסיק לעלות?

מהו הגובה הגדול ביותר של הכדור?

$\displaystyle h(t)=1.5+14t-5t^{2}$

תרגיל 6

שוב גינה לאורך קיר, עם 60 מטר גדר: $\displaystyle {A(x)}={x(60-2x)}$ .
הפעם הצלעות שמאונכות לקיר יכולות להיות באורך 10 מטר לכל היותר, ולכן $\displaystyle 0<x\leq10$ .

$\displaystyle {A'(x)}={60-4x}$ .
פתרו את אי־השוויון $\displaystyle A'(x)>0$ .

חשבו את $\displaystyle A(10)$ .

$\displaystyle A(x)=x(60-2x)$

מהו השטח הגדול ביותר עכשיו?
למה הוא לא בנקודה שבה $\displaystyle {A'(x)}={0}$ ?

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$