אי־שוויונות: בדרך גרפית ובשיטת התחומים

אי־שוויון $\displaystyle f(x)>g(x)$ מתקיים בדיוק איפה שהגרף של $\displaystyle f$ מעל הגרף של $\displaystyle g$. הקצוות של התחומים הם נקודות החיתוך של הגרפים.

בלוח שלפניכם $\displaystyle {f(x)}={x^3}$ ו־$\displaystyle {g(x)}={x}$. נקודות החיתוך: $\displaystyle {x^3}={x}$ כש־$\displaystyle {x}={-1}$, $\displaystyle {x}={0}$, $\displaystyle {x}={1}$.

• הגרף של $\displaystyle x^3$ מעל הישר כש־$\displaystyle -1<x<0$ וכש־$\displaystyle x>1$: אלה הפתרונות של $\displaystyle x^3>x$.
• בשאר המקומות, חוץ מנקודות החיתוך, הוא מתחתיו: $\displaystyle x^3<x$ כש־$\displaystyle x<-1$ וכש־$\displaystyle 0<x<1$.

אי־שוויון של פולינום הכתוב כמכפלת גורמים פותרים בשיטת התחומים:

1. מעבירים הכול לאגף אחד, כך שבאגף השני 0, ומפרקים לגורמים.
2. מסמנים על ציר המספרים את נקודות האפס. הן מחלקות את הציר לתחומים.
3. בכל תחום הסימן קבוע: מציבים מספר אחד מהתחום, או סופרים כמה גורמים שליליים יש שם.
4. בוחרים את התחומים עם הסימן המבוקש. ב־$\displaystyle \leq$ וב־$\displaystyle \geq$ גם נקודות האפס הן פתרונות.

בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle (x+2)(x-1)(x-4)\leq0$:

הפתרון: $\displaystyle x\leq-2$ או $\displaystyle 1\leq x\leq4$.

גורם מריבוי זוגי לא מחליף סימן, ולכן משני הצדדים של נקודת האפס שלו הסימן זהה.

בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle (x-3)^2(x+1)>0$:

• $\displaystyle (x-3)^2\geq0$, ולכן הסימן נקבע לפי $\displaystyle x+1$, חוץ מ־$\displaystyle {x}={3}$ שבה המכפלה היא 0.
• $\displaystyle x+1>0$ כש־$\displaystyle x>-1$.
• הפתרון: $\displaystyle -1<x<3$ או $\displaystyle x>3$. הנקודה $\displaystyle {x}={3}$ אינה פתרון: שם המכפלה 0, ולא גדולה מ־0.

במשוואה דו־ריבועית $\displaystyle {ax^4+bx^2+c}={0}$ יש רק החזקות $\displaystyle x^4$ ו־$\displaystyle x^2$. מציבים $\displaystyle {t}={x^2}$ ומקבלים משוואה ריבועית ב־$\displaystyle t$.

בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {x^4-5x^2+4}={0}$:

• $\displaystyle {t}={x^2}$: $\displaystyle {t^2-5t+4}={0}$, כלומר $\displaystyle {(t-1)(t-4)}={0}$, ולכן $\displaystyle {t}={1}$ או $\displaystyle {t}={4}$.
• $\displaystyle {x^2}={1}$: $\displaystyle {x}={\pm1}$. $\displaystyle {x^2}={4}$: $\displaystyle {x}={\pm2}$.
• לערך שלילי של $\displaystyle t$ לא היה מתאים אף $\displaystyle x$, כי $\displaystyle x^2\geq0$.

אותו פירוק פותר גם אי־שוויון: $\displaystyle {x^4-5x^2+4}={(x^2-1)(x^2-4)}={(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}$, ובשיטת התחומים $\displaystyle x^4-5x^2+4<0$ כש־$\displaystyle -2<x<-1$ או $\displaystyle 1<x<2$.

הסימן של מנה הוא כמו הסימן של מכפלה: חיובית כשלמונה ולמכנה אותו סימן. לכן גם אי־שוויון $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\geq0$ פותרים בשיטת התחומים, עם שני הבדלים:

• על הציר מסמנים גם את נקודות האפס של המכנה.
• נקודת אפס של המכנה לעולם אינה פתרון: שם המנה לא מוגדרת.

בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle \frac{2x}{x-1}\leq1$:

• לא כופלים ב־$\displaystyle x-1$, כי הסימן שלו לא ידוע. מעבירים אגף: $\displaystyle \frac{2x}{x-1}-1\leq0$.
• מכנה משותף: $\displaystyle {\frac{2x-(x-1)}{x-1}}={\frac{x+1}{x-1}\leq0}$.
• נקודת האפס של המונה $\displaystyle {x}={-1}$, ושל המכנה $\displaystyle {x}={1}$.
• המנה שלילית כש־$\displaystyle -1<x<1$. ב־$\displaystyle {x}={-1}$ היא 0, וב־$\displaystyle {x}={1}$ לא מוגדרת.
• הפתרון: $\displaystyle -1\leq x<1$.

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={x^2-4}$ ו־$\displaystyle {g(x)}={2x-1}$.

סמנו על הלוח את נקודות החיתוך של שני הגרפים.

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f(x)<g(x)$.
בדקו על הלוח: איפה הפרבולה מתחת לישר?

פתרו את אי־השוויונות בשיטת התחומים.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^4-10x^2+9}$.

מצאו את נקודות האפס של $\displaystyle f$.

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f(x)>0$.

פתרו את אי־השוויונות.

פתרו את אי־השוויון.
היזהרו: הכפלה ב־$\displaystyle x-2$ הייתה הופכת את סימן אי־השוויון כש־$\displaystyle x<2$.