פונקציות חזקה, זוגיות ואי־זוגיות

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 2 מתוך 26לימוד

פונקציות חזקה, זוגיות ואי־זוגיות

פונקציית חזקה

פונקציית חזקה היא פונקציה מהצורה $\displaystyle {y}={x^n}$ , כאן $\displaystyle n$ מספר טבעי: $\displaystyle {y}={x}$ , $\displaystyle {y}={x^2}$ , $\displaystyle {y}={x^3}$ , $\displaystyle {y}={x^4}$ וכן הלאה.

כולן מוגדרות לכל $\displaystyle x$ .
הגרפים של כולן עוברים בנקודות $\displaystyle (0,0)$ ו־ $\displaystyle (1,1)$ .
הצורה של הגרף תלויה בעיקר בשאלה אם $\displaystyle n$ זוגי או אי־זוגי.

חזקה זוגית

כש־ $\displaystyle n$ זוגי ( $\displaystyle x^2$ , $\displaystyle x^4$ , $\displaystyle x^6$ …), הגרף דומה לפרבולה:

$\displaystyle {(-x)^n}={x^n}$ , ולכן הגרף סימטרי ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$ ועובר גם ב־ $\displaystyle (-1,1)$ .
$\displaystyle x^n\geq0$ לכל $\displaystyle x$ : הגרף אף פעם לא מתחת לציר ה־ $\displaystyle x$ .
$\displaystyle (0,0)$ נקודת מינימום: הפונקציה יורדת כש־ $\displaystyle x<0$ ועולה כש־ $\displaystyle x>0$ .
כש־ $\displaystyle x$ גדל בלי סוף, וגם כש־ $\displaystyle x$ קטן בלי סוף, $\displaystyle y$ גדל בלי סוף: שני הקצוות של הגרף פונים למעלה.

בלוח שלפניכם $\displaystyle {y}={x^2}$ ו־ $\displaystyle {y}={x^4}$ : ליד הראשית $\displaystyle x^4$ שטוחה יותר, ומחוץ לקטע $\displaystyle -1<x<1$ היא תלולה יותר.

\displaystyle y=x^{2}

\displaystyle y=x^{4}

חזקה אי־זוגית

כש־ $\displaystyle n$ אי־זוגי ( $\displaystyle x$ , $\displaystyle x^3$ , $\displaystyle x^5$ …):

$\displaystyle {(-x)^n}={-x^n}$ , ולכן הגרף סימטרי ביחס לראשית הצירים ועובר גם ב־ $\displaystyle (-1,-1)$ .
הפונקציה שלילית כש־ $\displaystyle x<0$ וחיובית כש־ $\displaystyle x>0$ .
הפונקציה עולה בכל מקום, ואין לה נקודות קיצון.
כש־ $\displaystyle x$ גדל בלי סוף, $\displaystyle y$ גדל בלי סוף; כש־ $\displaystyle x$ קטן בלי סוף, גם $\displaystyle y$ קטן בלי סוף: הקצה השמאלי של הגרף פונה למטה, והימני למעלה.

\displaystyle y=x

\displaystyle y=x^{3}

איזו חזקה גדלה מהר יותר

כש־ $\displaystyle x>1$ , חזקה גבוהה יותר גדלה מהר יותר. למשל, כש־ $\displaystyle {x}={10}$ :

$\displaystyle x^2$	$\displaystyle x^3$	$\displaystyle x^4$
100	1,000	10,000

בין 0 ל־1 זה הפוך: כש־ $\displaystyle {x}={0.5}$ , $\displaystyle {x^2}={0.25}$ ו־ $\displaystyle {x^4}={0.0625}$ – החזקה הגבוהה קטנה יותר.

לכן כש־ $\displaystyle x$ גדול מאוד, בפולינום כמו $\displaystyle x^3-100x$ החזקה הגבוהה קובעת: כש־ $\displaystyle {x}={1000}$ , $\displaystyle x^3$ הוא מיליארד, ו־ $\displaystyle 100x$ רק מאה אלף.

הקצוות של פולינום

בקצוות של הגרף של פולינום, כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף, האיבר עם החזקה הגבוהה קובע לאן הגרף הולך.

מעלה אי־זוגית: קצה אחד של הגרף פונה למטה והשני למעלה. הגרף רציף – אין בו קפיצות – ולכן הוא חוצה את ציר ה־ $\displaystyle x$ לפחות פעם אחת: לפולינום ממעלה אי־זוגית יש לפחות נקודת אפס אחת.
מעלה זוגית: שני הקצוות פונים לאותו כיוון, ולכן ייתכן שהגרף לא יגיע לציר ה־ $\displaystyle x$ . למשל, $\displaystyle x^4+1\geq1$ לכל $\displaystyle x$ , ואין לו נקודות אפס.

בדוגמה שלפניכם נמצא בין אילו מספרים שלמים יש נקודת אפס ל־ $\displaystyle {f(x)}={x^3-2x-5}$ :

$\displaystyle {f(2)}={8-4-5}={-1}$ , שלילי.
$\displaystyle {f(3)}={27-6-5}={16}$ , חיובי.
הגרף עובר מתחת לציר ה־ $\displaystyle x$ אל מעליו, ולכן יש נקודת אפס בין 2 ל־3.

פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית

התכונות של $\displaystyle x^n$ נותנות שמות לכל פונקציה:

\displaystyle f(-x)

\displaystyle =

\displaystyle f(x)

\displaystyle f(-x)

\displaystyle =

\displaystyle -f(x)

פונקציה זוגית: $\displaystyle {f(-x)}={f(x)}$ לכל $\displaystyle x$ בתחום. הגרף סימטרי ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$ .
פונקציה אי־זוגית: $\displaystyle {f(-x)}={-f(x)}$ לכל $\displaystyle x$ בתחום. הגרף סימטרי ביחס לראשית הצירים.
פולינום שיש בו רק חזקות זוגיות (ומספר קבוע) – זוגי. פולינום שיש בו רק חזקות אי־זוגיות – אי־זוגי.

בדוגמה שלפניכם נבדוק שלוש פונקציות:

$\displaystyle {f(x)}={x^4-3x^2}$ : $\displaystyle {f(-x)}={(-x)^4-3(-x)^2}={x^4-3x^2}={f(x)}$ – זוגית.
$\displaystyle {g(x)}={x^3-2x}$ : $\displaystyle {g(-x)}={-x^3+2x}={-g(x)}$ – אי־זוגית.
$\displaystyle {h(x)}={x^2+x}$ : $\displaystyle {h(1)}={2}$ ו־ $\displaystyle {h(-1)}={0}$ , כלומר $\displaystyle h(-1)$ אינו $\displaystyle h(1)$ ואינו $\displaystyle -h(1)$ – לא זוגית ולא אי־זוגית.

תרגיל 1

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={x^2}$ ו־ $\displaystyle {g(x)}={x^4}$ .

סמנו על הלוח את כל נקודות החיתוך של שני הגרפים.

\displaystyle f(x)=x^{2}

\displaystyle g(x)=x^{4}

מצאו את שיעורי ה־ $\displaystyle x$ של נקודות החיתוך בחישוב.

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle x^4<x^2$ : איפה הגרף של $\displaystyle g$ מתחת לגרף של $\displaystyle f$ ?

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={2x^5-x^3}$ .

חשבו את $\displaystyle f(-x)$ .

$\displaystyle f(x)=2x^{5}-x^{3}$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

האם $\displaystyle f$ זוגית, אי־זוגית או לא זה ולא זה?
נמקו.

תרגיל 3

קבעו על כל פונקציה אם היא זוגית, אי־זוגית או לא זה ולא זה.
נמקו כל תשובה.

$\displaystyle {f(x)}={x^6-x^2+7}$
$\displaystyle {g(x)}={x^5+4x}$
$\displaystyle {h(x)}={x^3+1}$
$\displaystyle {k(x)}={(x-1)^2}$

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3+x+1}$ .

חשבו את $\displaystyle f(-1)$ ואת $\displaystyle f(0)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}+x+1$

הסבירו למה יש ל־ $\displaystyle f$ נקודת אפס בין $\displaystyle -1$ ל־0.
הסבירו למה לכל פולינום ממעלה שלישית יש לפחות נקודת אפס אחת.

תרגיל 5

$\displaystyle f$ היא פונקציה זוגית, ו־ $\displaystyle {f(2)}={7}$ .
$\displaystyle g$ היא פונקציה אי־זוגית המוגדרת לכל $\displaystyle x$ , ו־ $\displaystyle {g(3)}={-4}$ .
כתבו את $\displaystyle f(-2)$ ואת $\displaystyle g(-3)$ .
הסבירו למה $\displaystyle {g(0)}={0}$ .

\displaystyle f(-2)

\displaystyle g(-3)

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$