דלג לתוכן

תרגול: הנגזרת של פולינום ויישומיה

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 17 מתוך 26תרגול

תרגול: הנגזרת של פולינום ויישומיה

1

חשבו את קצב השינוי הממוצע של f(x)=x3\displaystyle {f(x)}={x^3} בין x=1\displaystyle {x}={1} ל־x=3\displaystyle {x}={3}.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    2

    נתונה הפונקציה f(x)=x2+3x\displaystyle {f(x)}={x^2+3x}.

    א

    פשטו את מנת ההפרשים.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ב

      לאן שואפת מנת ההפרשים כש־h→0\displaystyle h\to0?
      מהי f′(x)\displaystyle f'(x)?

      3

      גזרו.

      א

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ג

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            4

            גוף נע בקו ישר.
            הדרך שהוא עובר במטרים אחרי t\displaystyle t שניות: s(t)=t3−6t2+15t\displaystyle {s(t)}={t^3-6t^2+15t}.

            א

            מצאו את המהירות של הגוף אחרי t\displaystyle t שניות.

            s(t)=t3−6t2+15t\displaystyle s(t)=t^{3}-6t^{2}+15t

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              מהי המהירות אחרי 3 שניות?

              s(t)=t3−6t2+15t\displaystyle s(t)=t^{3}-6t^{2}+15t

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                5

                נתונה הפונקציה f(x)=x3−2x\displaystyle {f(x)}={x^3-2x}.
                כתבו על הלוח את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x=1\displaystyle {x}={1}.

                f(x)=x3−2x\displaystyle f(x)=x^{3}-2x

                6

                נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+5\displaystyle {f(x)}={x^2-6x+5}.
                המשיק לגרף בנקודה מסוימת מקביל לישר y=2x+1\displaystyle {y}={2x+1}.

                א

                כתבו משוואה לשיעור ה־x\displaystyle x של הנקודה, ופתרו אותה.

                  ב

                  כתבו על הלוח את משוואת המשיק.

                  f(x)=x2−6x+5\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+5

                  7

                  נתונה הפונקציה f(x)=−x3+3x2+9x−2\displaystyle {f(x)}={-x^3+3x^2+9x-2}.

                  א

                  פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

                    ב

                    פתרו את אי־השוויון f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0.

                      ג

                      סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.

                      f(x)=−x3+3x2+9x−2\displaystyle f(x)=-x^{3}+3x^{2}+9x-2

                      ד

                      כתבו את נקודות הקיצון ואת הסוג שלהן, ואת תחומי העלייה והירידה.

                      8

                      הפונקציה f(x)=x3−12x\displaystyle {f(x)}={x^3-12x} מוגדרת בתחום 0≤x≤3\displaystyle 0\leq x\leq3.

                      א

                      פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

                        ב

                        חשבו את ערכי הפונקציה בנקודה שבתחום ובקצה הימני.

                        הקיצון

                        f(x)=x3−12x\displaystyle f(x)=x^{3}-12x

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          f(3)\displaystyle f(3)

                          f(x)=x3−12x\displaystyle f(x)=x^{3}-12x

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            ג

                            מהו המקסימום המוחלט של f\displaystyle f בתחום, ומהו המינימום המוחלט?

                            מקסימום

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              מינימום

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                9

                                לפונקציה f(x)=ax3−3x\displaystyle {f(x)}={ax^3-3x} (a\displaystyle a פרמטר) יש נקודת קיצון ב־x=1\displaystyle {x}={1}.
                                כתבו משוואה ל־a\displaystyle a ופתרו אותה.

                                  10

                                  בלוח שלפניכם הגרף של הנגזרת f′(x)=−2x+4\displaystyle {f'(x)}={-2x+4} של פונקציה f\displaystyle f.

                                  א

                                  סמנו את הנקודה שבה גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x\displaystyle x.

                                  y=−2x+4\displaystyle y=-2x+4

                                  ב

                                  איפה f\displaystyle f עולה, ואיפה היא יורדת?
                                  מה יש ל־f\displaystyle f ב־x=2\displaystyle {x}={2}?

                                  11

                                  הנגזרת של פונקציה f\displaystyle f היא f′(x)=2x+1\displaystyle {f'(x)}={2x+1}.
                                  הגרף של f\displaystyle f עובר בנקודה (2,1)\displaystyle (2,1).

                                  א

                                  f(x)=x2+x+C\displaystyle {f(x)}={x^2+x+C}.
                                  הציבו את הנקודה ומצאו את C\displaystyle C.

                                    ב

                                    כתבו את f(x)\displaystyle f(x) על הלוח.

                                    A=(2,1)\displaystyle A=(2,1)

                                    12

                                    נתונה הפונקציה f(x)=(x2−4)2\displaystyle {f(x)}={(x^2-4)^2}.

                                    א

                                    מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

                                    f(x)=(x2−4)2\displaystyle f(x)=(x^{2}-4)^{2}

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                      ב

                                      פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

                                        ג

                                        סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.

                                        f(x)=(x2−4)2\displaystyle f(x)=(x^{2}-4)^{2}

                                        13

                                        מגיליון ריבועי שהצלע שלו 30 ס"מ גוזרים בכל פינה ריבוע שהצלע שלו x\displaystyle x, ומקפלים לקופסה בלי מכסה.

                                        א

                                        כתבו את הנפח V(x)\displaystyle V(x) ואת התחום של x\displaystyle x.

                                        ב

                                        מצאו את V′(x)\displaystyle V'(x).

                                        V(x)=x(30−2x)2\displaystyle V(x)=x(30-2x)^{2}

                                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                          ג

                                          פתרו את המשוואה V′(x)=0\displaystyle {V'(x)}={0}.

                                            ד

                                            חשבו את הנפח הגדול ביותר.

                                            V(x)=x(30−2x)2\displaystyle V(x)=x(30-2x)^{2}

                                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                              14

                                              לפונקציה f(x)=x3−3x2\displaystyle {f(x)}={x^3-3x^2} יש מקסימום (0,0)\displaystyle (0,0) ומינימום (2,−4)\displaystyle (2,-4).
                                              כמה פתרונות יש למשוואה x3−3x2=−2\displaystyle {x^3-3x^2}={-2}?
                                              וכמה למשוואה x3−3x2=1\displaystyle {x^3-3x^2}={1}?
                                              נמקו.

                                              =−2\displaystyle {}={-2}

                                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                =1\displaystyle {}={1}

                                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה