תרגול: קדם אנליזה

פתרו את המשוואה.

פתרו את אי־השוויון.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-x^2-6x}$ .

פרקו את $\displaystyle f(x)$ לגורמים.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מצאו את נקודות האפס של $\displaystyle f$ .

סמנו על הגרף את נקודות האפס.

\displaystyle f(x)=x^{3}-x^{2}-6x

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^5-3x^3+x}$ .

חשבו את $\displaystyle f(-x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{5}-3x^{3}+x$

האם $\displaystyle f$ זוגית, אי־זוגית או לא זה ולא זה?
מה זה אומר על הגרף שלה?

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2-6x+5}$ , ונקודות האפס שלה $\displaystyle {x}={1}$ ו־ $\displaystyle {x}={5}$ .

כתבו את $\displaystyle f(x+2)$ בלי סוגריים.

$\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+5$

מצאו את נקודות האפס של $\displaystyle f(x+2)$ .

איזו הזזה מעבירה את הגרף של $\displaystyle f$ אל הגרף של $\displaystyle f(x+2)$ ?
איך רואים אותה בנקודות האפס?

הגרף שבלוח התקבל מהגרף של $\displaystyle {y}={x^3}$ בשיקוף ובהזזות.
כתבו בשורה של הלוח את הפונקציה שלו.

\displaystyle f(x)=\,?

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={x^2}$ ו־ $\displaystyle {g(x)}={x^2-3}$ .
כתבו את $\displaystyle f(g(x))$ בלי סוגריים.

$\displaystyle f(x)=x^{2},\qquad g(x)=x^{2}-3$

פתרו את אי־השוויון.

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={x^2-1}$ ו־ $\displaystyle {g(x)}={|x|+1}$ .

סמנו על הלוח את נקודות החיתוך של שני הגרפים.

\displaystyle f(x)=x^{2}-1

\displaystyle g(x)=|x|+1

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f(x)>g(x)$ .

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(x+1)^2(x-3)(x+4)}$ .
שרטטו סקיצה של הגרף בלי לפתוח סוגריים, וכתבו:

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$