תרגול: פונקציות שורש ופונקציות רציונליות

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 25 מתוך 26תרגול

תרגול: פונקציות שורש ופונקציות רציונליות

פתרו את המשוואה.
בדקו כל פתרון במשוואה המקורית.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{6-2x}}$ .

גזרו.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x+5}}$ .
הנקודה $\displaystyle (4,3)$ נמצאת על הגרף שלה.

חשבו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle (4,3)$ .

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x+5}$

כתבו בלוח את משוואת המשיק.

\displaystyle f(x)=\sqrt{x+5}

\displaystyle (4,3)

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x-2\sqrt{x}}$ .
הנגזרת שלה היא $\displaystyle {f'(x)}={1-\frac{1}{\sqrt{x}}}$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון שמצאתם.

\displaystyle f(x)=x-2\sqrt{x}

מהו תחום ההגדרה של $\displaystyle f$ ?
כתבו את כל נקודות הקיצון של $\displaystyle f$ , כולל קיצון בקצה, ואת תחומי העלייה והירידה.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{2x^2}{x^2-9}}$ .
כתבו בלוח את המשוואות של כל האסימפטוטות שלה.

\displaystyle f(x)=\frac{2x^{2}}{x^{2}-9}

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2-1}{x^2+x}}$ .

צמצמו את השבר.

כתבו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטות ואת הנקודה שבה יש חור בגרף.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2}{x+2}}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x+2}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.

\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x+2}

\displaystyle x=-2

כתבו את תחומי העלייה והירידה ואת הסוג של כל נקודת קיצון.

המכפלה של שני מספרים חיוביים היא 16.
מצאו את המספרים שבשבילם סכום המספר הראשון וארבע פעמים המספר השני הוא הקטן ביותר.
מהו הסכום הקטן ביותר?

הראשון

השני

הסכום

במחצית מעגל שהרדיוס שלו 5 חוסמים מלבן: צלע אחת שלו על הקוטר, ושני קדקודים על הקשת.
$\displaystyle x$ – המרחק מהמרכז לכל אחד מהקדקודים שעל הקוטר.
השטח של המלבן הוא $\displaystyle {A(x)}={2x\sqrt{25-x^2}}$ , ו־ $\displaystyle 0<x<5$ .

מצאו את $\displaystyle A'(x)$ .

$\displaystyle A(x)=2x\sqrt{25-x^{2}}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {A'(x)}={0}$ .

חשבו את השטח הגדול ביותר.

$\displaystyle A(x)=2x\sqrt{25-x^{2}}$

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$