נגזרת של מכפלה ושל פונקציה מורכבת

הנגזרת של מכפלת פונקציות אינה מכפלת הנגזרות. למשל, $\displaystyle {x\cdot x}={x^2}$ והנגזרת שלה $\displaystyle 2x$, אבל $\displaystyle {(x)'\cdot(x)'}={1}$. הכלל הנכון:

בדוגמה שלפניכם נגזור את $\displaystyle (x^2+1)(x^3-2x)$ לפי הכלל:

• $\displaystyle {f(x)}={x^2+1}$, $\displaystyle {f'(x)}={2x}$; $\displaystyle {g(x)}={x^3-2x}$, $\displaystyle {g'(x)}={3x^2-2}$.
• הנגזרת: $\displaystyle 2x(x^3-2x)+(x^2+1)(3x^2-2)$.
• נפתח סוגריים ונכנס איברים: $\displaystyle {2x^4-4x^2+3x^4-2x^2+3x^2-2}={5x^4-3x^2-2}$.

בדיקה: $\displaystyle {(x^2+1)(x^3-2x)}={x^5-x^3-2x}$, והנגזרת שלה היא אותו $\displaystyle 5x^4-3x^2-2$.

בהוכחה שלפניכם נכתוב את מנת ההפרשים של $\displaystyle f\cdot g$, נוסיף לה ונחסיר ממנה את $\displaystyle f(x)g(x+h)$, ונראה שכש־$\displaystyle h\to0$ היא שואפת ל־$\displaystyle f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.

1. מנת ההפרשים של המכפלה: $\displaystyle \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$.
2. נוסיף ונחסיר במונה $\displaystyle f(x)g(x+h)$: $\displaystyle \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$.
3. נוציא גורם משותף מכל זוג: $\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x+h)+f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$.
4. כש־$\displaystyle h\to0$: $\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\to f'(x)$, $\displaystyle g(x+h)\to g(x)$, ו־$\displaystyle \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\to g'(x)$.
5. לכן מנת ההפרשים שואפת ל־$\displaystyle f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$, וזו הנגזרת של המכפלה.

ב־$\displaystyle (2x+1)^3$ מחשבים שני שלבים: קודם $\displaystyle {u}={2x+1}$, ואחר כך מעלים את התוצאה בחזקה 3. פונקציה כזאת היא פונקציה מורכבת, $\displaystyle f(u(x))$:

• $\displaystyle {u(x)}={2x+1}$ – הפונקציה הפנימית, השלב הראשון.
• $\displaystyle {f(u)}={u^3}$ – הפונקציה החיצונית, מה שנעשה בתוצאה.

עוד דוגמאות: ב־$\displaystyle (x^2+1)^4$ הפנימית $\displaystyle x^2+1$ והחיצונית $\displaystyle u^4$; ב־$\displaystyle |x-3|$ הפנימית $\displaystyle x-3$ והחיצונית $\displaystyle |u|$.

אם $\displaystyle u$ משתנה פי 2 מהר יותר מ־$\displaystyle x$, ו־$\displaystyle f$ משתנה פי 3 מהר יותר מ־$\displaystyle u$, אז $\displaystyle f$ משתנה פי $\displaystyle {3\cdot2}={6}$ מהר יותר מ־$\displaystyle x$. קצבי השינוי נכפלים:

• $\displaystyle f'(u)$ – הנגזרת החיצונית: גוזרים את החיצונית, והפנימית נשארת בתוכה כמו שהיא.
• $\displaystyle u'(x)$ – הנגזרת הפנימית.

בדוגמה שלפניכם נגזור את $\displaystyle (x^2+1)^3$:

• החיצונית $\displaystyle u^3$, והנגזרת שלה $\displaystyle {3u^2}={3(x^2+1)^2}$.
• הפנימית $\displaystyle x^2+1$, והנגזרת שלה $\displaystyle 2x$.
• $\displaystyle {[(x^2+1)^3]'}={3(x^2+1)^2\cdot2x}={6x(x^2+1)^2}$.

כשהפונקציה הפנימית קווית, $\displaystyle {u}={ax+b}$, הנגזרת הפנימית היא המספר $\displaystyle a$:

למשל, $\displaystyle {[(2x-1)^4]'}={4\cdot2(2x-1)^3}={8(2x-1)^3}$.

מאותה סיבה, אם $\displaystyle {g(x)}={f(ax)}$ אז $\displaystyle {g'(x)}={a\cdot f'(ax)}$. הגרף של $\displaystyle g$ הוא הגרף של $\displaystyle f$ מכווץ אופקית פי $\displaystyle a$, ולכן כל השיפועים שלו גדולים פי $\displaystyle a$.

גזרו לפי כלל המכפלה.
כתבו את התשובה בלי סוגריים.

גזרו לפי כלל הגזירה של פונקציה מורכבת.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x(x-2)^3}$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$, ופרקו אותה לגורמים.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$.

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f'(x)>0$: איפה $\displaystyle f$ עולה?

חשבו את הערך של $\displaystyle f$ בנקודת הקיצון.

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון.
מה יש לגרף ב־$\displaystyle {x}={2}$?

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(2x-3)^4}$.

חשבו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $\displaystyle {x}={2}$.

כתבו על הלוח את משוואת המשיק בנקודה הזאת.

נתונות הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={x^2-4x}$ ו־$\displaystyle {g(x)}={f(3x)}$.

מצאו את $\displaystyle g'(x)$.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {g'(x)}={0}$.

לפונקציה $\displaystyle f$ יש מינימום ב־$\displaystyle {x}={2}$.
הסבירו בעזרת הכיווץ האופקי למה ל־$\displaystyle g$ יש מינימום ב־$\displaystyle {x}={\frac{2}{3}}$.