נגזרת של מנה ומשוואת המשיק לפונקציה רציונלית

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 22 מתוך 26לימוד

נגזרת של מנה ומשוואת המשיק לפונקציה רציונלית

הנגזרת של

\displaystyle \frac{1}{x}

את הנגזרת של $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{x}}$ נמצא לפי ההגדרה, כמו שמצאנו את הנגזרת של $\displaystyle x^2$ . בחישוב שלפניכם נכנס את שני השברים במונה למכנה משותף:

\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}=\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}=\frac{-h}{x(x+h)\cdot h}=\frac{-1}{x(x+h)}

כש־ $\displaystyle h\to0$ , המכנה $\displaystyle x(x+h)$ שואף ל־ $\displaystyle {x\cdot x}={x^2}$ .
לכן קצב השינוי הממוצע שואף ל־ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$ .

\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'

\displaystyle =

\displaystyle -\frac{1}{x^2}

הנגזרת שלילית בכל תחום ההגדרה: הפונקציה $\displaystyle \frac{1}{x}$ יורדת משמאל ל־0 וגם מימין לו.

נגזרת של מנה

מנה היא מכפלה בהופכי: $\displaystyle {\frac{f(x)}{g(x)}}={f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}}$ . בהוכחה שלפניכם נגזור את שני הגורמים בכללים שכבר למדנו:

$\displaystyle \frac{1}{g(x)}$ היא פונקציה מורכבת: הפונקציה החיצונית $\displaystyle \frac{1}{u}$ , והפנימית $\displaystyle {u}={g(x)}$ . לכן $\displaystyle {\left(\frac{1}{g(x)}\right)'}={-\frac{1}{[g(x)]^2}\cdot g'(x)}$ .
לפי הכלל של נגזרת מכפלה:

\left[f\cdot\frac{1}{g}\right]'=f'\cdot\frac{1}{g}+f\cdot\left(-\frac{g'}{g^2}\right)=\frac{f'g}{g^2}-\frac{fg'}{g^2}

\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'

\displaystyle =

\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

במונה הסדר חשוב: הנגזרת של המונה כפול המכנה פחות המונה כפול הנגזרת של המכנה.
את המכנה $\displaystyle [g(x)]^2$ משאירים בדרך כלל כמו שהוא, בלי לפתוח סוגריים.

דוגמה:

\displaystyle \frac{2x+1}{x-3}

בדוגמה שלפניכם נגזור את $\displaystyle {f(x)}={\frac{2x+1}{x-3}}$ :

המונה $\displaystyle 2x+1$ , והנגזרת שלו 2.
המכנה $\displaystyle x-3$ , והנגזרת שלו 1.

f'(x)=\frac{2(x-3)-(2x+1)\cdot1}{(x-3)^2}=\frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2}=\frac{-7}{(x-3)^2}

המונה $\displaystyle -7$ שלילי והמכנה חיובי, ולכן $\displaystyle f'(x)<0$ בכל תחום ההגדרה.

משיק לגרף של פונקציה רציונלית

משוואת המשיק נמצאת כמו בפולינום: $\displaystyle {y_1}={f(x_1)}$ , $\displaystyle {m}={f'(x_1)}$ , ואז $\displaystyle {y-y_1}={m(x-x_1)}$ .

בדוגמה שלפניכם נמצא את המשיק לגרף של $\displaystyle {f(x)}={\frac{2x+1}{x-3}}$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={4}$ :

$\displaystyle {f(4)}={\frac{9}{1}}={9}$ : נקודת ההשקה $\displaystyle (4,9)$ .
$\displaystyle {f'(4)}={\frac{-7}{1^2}}={-7}$ : שיפוע המשיק.
$\displaystyle {y-9}={-7(x-4)}$ , כלומר $\displaystyle {y}={-7x+37}$ .

\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x-3}

\displaystyle x=3

\displaystyle y=2

\displaystyle y=-7x+37

\displaystyle (4,9)

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{x+3}}$ .
קצב השינוי הממוצע שלה בין $\displaystyle x$ ל־ $\displaystyle x+h$ הוא $\displaystyle \frac{\frac{1}{x+h+3}-\frac{1}{x+3}}{h}$ .

פשטו את הביטוי.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

למה שואף הביטוי שקיבלתם כש־ $\displaystyle h\to0$ ?
מהי $\displaystyle f'(x)$ ?

תרגיל 2

גזרו.

כאן המונה קבוע: אפשר לגזור לפי הכלל של נגזרת מנה, או לפי הכלל של פונקציה מורכבת.

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{x-1}}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{x-1}$

חשבו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle (2,2)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{x-1}$

כתבו בלוח את משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (2,2)$ .

\displaystyle f(x)=\frac{x}{x-1}

\displaystyle x=1

\displaystyle y=1

\displaystyle (2,2)

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x+3}{x-1}}$ .
הנגזרת שלה היא $\displaystyle {f'(x)}={\frac{-4}{(x-1)^2}}$ .

מצאו את שיעורי ה־ $\displaystyle x$ של הנקודות על הגרף שבהן שיפוע המשיק הוא $\displaystyle -1$ .

כתבו בלוח את המשוואות של שני המשיקים שבנקודות האלה.

\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x-1}

\displaystyle x=1

\displaystyle y=1

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{x}}$ .
המשיקים לגרף בשתי נקודות מקבילים לישר $\displaystyle {y}={-4x}$ .

$\displaystyle {f'(x)}={-\frac{1}{x^2}}$ , ולכן שיעורי ה־ $\displaystyle x$ של הנקודות הם הפתרונות של המשוואה $\displaystyle {-\frac{1}{x^2}}={-4}$ .
פתרו אותה.

כתבו את שתי נקודות ההשקה ואת משוואות שני המשיקים.
מה הקשר בין שתי הנקודות?

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$