קצב שינוי: אחיד, משתנה וממוצע

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 8 מתוך 26לימוד

קצב שינוי: אחיד, משתנה וממוצע

קצב שינוי אחיד ומשתנה

קצב שינוי אומר בכמה גודל אחד משתנה כשגודל אחר משתנה ביחידה אחת: כמה קילומטרים בשעה, כמה מעלות בשעה, כמה סנטימטרים של מים בדקה.

קצב אחיד: בכל שעה אותו שינוי. רוכבת שנוסעת 15 קילומטרים בכל שעה עוברת $\displaystyle 15t$ קילומטרים ב־ $\displaystyle t$ שעות, והגרף הוא ישר. הקצב הוא השיפוע שלו.
קצב משתנה: השינוי בכל שעה אחר. כדור שמתגלגל במורד מהיר יותר ויותר; מים שנשפכים בקצב קבוע לאגרטל רחב למטה וצר למעלה עולים לאט בהתחלה ומהר בסוף. הגרף אינו ישר.

מדרגות

כדי לראות איך הקצב משתנה, מחלקים את ציר ה־ $\displaystyle x$ לקטעים שווים ובונים מדרגות: כל מדרגה רחבה $\displaystyle \Delta x$ (קוראים “דלתא $\displaystyle x$ ”), והגובה שלה $\displaystyle \Delta y$ – בכמה $\displaystyle y$ השתנה לאורכה.

בגרף של $\displaystyle {f(x)}={x^2}$ שלפניכם המדרגות רחבות 1, מ־ $\displaystyle {x}={0}$ עד $\displaystyle {x}={4}$ :

\displaystyle f(x)=x^{2}

\displaystyle (0,0)

\displaystyle (1,1)

\displaystyle (2,4)

\displaystyle (3,9)

\displaystyle (4,16)

הגבהים הם $\displaystyle {1-0}={1}$ , $\displaystyle {4-1}={3}$ , $\displaystyle {9-4}={5}$ , $\displaystyle {16-9}={7}$ .
המדרגות עולות – הפונקציה עולה.
כל מדרגה גבוהה מהקודמת – הפונקציה עולה מהר יותר ויותר.

בפונקציה קווית כל המדרגות שוות, והיחס $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}$ הוא השיפוע. בפונקציה אחרת היחס $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}$ משתנה ממדרגה למדרגה: הוא קצב השינוי לאורך המדרגה. ככל שהמדרגה צרה יותר, היחס מתאר טוב יותר את הקצב בכל נקודה שלה.

קצב השינוי הממוצע

קצב השינוי הממוצע של $\displaystyle f$ בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ הוא היחס בין השינוי ב־ $\displaystyle y$ לשינוי ב־ $\displaystyle x$ :

\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

זה בדיוק השיפוע של הישר שעובר דרך הנקודות $\displaystyle (x_1,f(x_1))$ ו־ $\displaystyle (x_2,f(x_2))$ שעל הגרף. ישר כזה, שחותך את הגרף בשתי נקודות, נקרא חותך.

בדוגמה שלפניכם נחשב את קצב השינוי הממוצע של $\displaystyle {f(x)}={x^2}$ בין $\displaystyle {x}={1}$ ל־ $\displaystyle {x}={4}$ :

\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{16-1}{3}=5

\displaystyle f(x)=x^{2}

\displaystyle y=5x-4

\displaystyle A=(1,1)

\displaystyle B=(4,16)

החותך הוא הישר $\displaystyle {y}={5x-4}$ , והשיפוע שלו 5.
בממוצע, בכל יחידה של $\displaystyle x$ מ־1 עד 4 הפונקציה עלתה ב־5.
קצב חיובי – הפונקציה עלתה בממוצע; קצב שלילי – ירדה בממוצע.

מהירות ממוצעת

כש־ $\displaystyle s(t)$ היא הדרך שגוף עבר עד הזמן $\displaystyle t$ , קצב השינוי הממוצע של $\displaystyle s$ הוא המהירות הממוצעת:

\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}

היחידות הן יחידות הדרך חלקי יחידות הזמן. למשל, אם $\displaystyle s$ במטרים ו־ $\displaystyle t$ בשניות, המהירות במטרים בשנייה.
רצה שעברה 200 מטרים ב־25 שניות רצה במהירות ממוצעת של $\displaystyle {\frac{200}{25}}={8}$ מטרים בשנייה – גם אם בהתחלה רצה לאט יותר ובסוף מהר יותר.

קצב שינוי מטבלה

מכירת כרטיסים להופעה התחילה ב־12:00 ( $\displaystyle {t}={0}$ ), וכעבור 9 שעות נמכרו כל הכרטיסים.
$\displaystyle L(t)$ – מספר האנשים שעומדים בתור לכרטיסים כעבור $\displaystyle t$ שעות.

$\displaystyle t$ (שעות)	0	1	3	4	7	8	9
$\displaystyle L(t)$ (אנשים)	120	156	176	126	150	80	0

בדוגמה שלפניכם נעריך את קצב השינוי של התור ב־17:30, כלומר ב־ $\displaystyle {t}={5.5}$ . אין בטבלה ערך ב־5.5, ולכן נשתמש בשני הערכים הקרובים משני הצדדים, $\displaystyle {t}={4}$ ו־ $\displaystyle {t}={7}$ :

\frac{L(7)-L(4)}{7-4}=\frac{150-126}{3}=8

בסביבות 17:30 התור גדל בערך ב־8 אנשים בשעה. היחידות: אנשים חלקי שעות.

מה המדרגות מספרות

גם בלי נוסחה, המדרגות מתארות את הגרף:

המדרגות עולות – הפונקציה עולה; יורדות – הפונקציה יורדת.
המדרגות עולות אבל הגבהים קטנים – הפונקציה עולה, אבל לאט יותר ויותר.
המדרגות יורדות ואחר כך עולות – לפונקציה יש נקודת מינימום.
המדרגות עולות ואחר כך יורדות – לפונקציה יש נקודת מקסימום.

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2-4x}$ .

חשבו את קצב השינוי הממוצע של $\displaystyle f$ בין $\displaystyle {x}={0}$ ל־ $\displaystyle {x}={1}$ .

$\displaystyle f(x)=x^{2}-4x$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את קצב השינוי הממוצע של $\displaystyle f$ בין $\displaystyle {x}={1}$ ל־ $\displaystyle {x}={3}$ .

$\displaystyle f(x)=x^{2}-4x$

חשבו את קצב השינוי הממוצע של $\displaystyle f$ בין $\displaystyle {x}={3}$ ל־ $\displaystyle {x}={5}$ .

$\displaystyle f(x)=x^{2}-4x$

בין $\displaystyle {x}={1}$ ל־ $\displaystyle {x}={3}$ קצב השינוי הממוצע יצא 0.
האם הפונקציה קבועה בקטע הזה?
הסבירו לפי הערכים $\displaystyle f(1)$ , $\displaystyle f(2)$ ו־ $\displaystyle f(3)$ .

תרגיל 2

ביום אביב נמדדה הטמפרטורה בחצר בית הספר.

שעה	6:00	9:00	12:00	15:00	18:00
טמפרטורה (מעלות)	14	20	26	25	17

חשבו את קצב השינוי הממוצע של הטמפרטורה בין 6:00 ל־12:00, במעלות לשעה.

חשבו את קצב השינוי הממוצע של הטמפרטורה בין 12:00 ל־18:00.

מה אומר הסימן של התשובה בסעיף ב?
בין אילו שתי מדידות סמוכות הטמפרטורה השתנתה הכי מהר?

תרגיל 3

חזרו לטבלה של התור לכרטיסים.

חשבו את קצב השינוי הממוצע של התור בין $\displaystyle {t}={1}$ ל־ $\displaystyle {t}={3}$ .

העריכו את קצב השינוי של התור ב־ $\displaystyle {t}={8.5}$ .

מה המשמעות של קצב שלילי בתור לכרטיסים?
בין אילו שתי מדידות סמוכות התור התקצר הכי מהר?

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3}$ .

חשבו את הגבהים של שלוש מדרגות ברוחב 1, מ־ $\displaystyle {x}={0}$ עד $\displaystyle {x}={3}$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}$

מה הגבהים מספרים על הפונקציה בין $\displaystyle {x}={0}$ ל־ $\displaystyle {x}={3}$ ?

תרגיל 5

מכונית יוצאת לדרך.
כעבור $\displaystyle t$ שניות היא עברה $\displaystyle {s(t)}={3t^2}$ מטרים.

חשבו את המהירות הממוצעת של המכונית ב־4 השניות הראשונות.

$\displaystyle s(t)=3t^{2}$

חשבו את המהירות הממוצעת שלה בין $\displaystyle {t}={2}$ ל־ $\displaystyle {t}={4}$ .

$\displaystyle s(t)=3t^{2}$

למה המהירות הממוצעת בין $\displaystyle {t}={2}$ ל־ $\displaystyle {t}={4}$ גדולה מהמהירות הממוצעת ב־4 השניות הראשונות?

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$