הפונקציה הרציונלית: תחום הגדרה, אסימפטוטות ונקודה סליקה

אין חילוק ב־0, ולכן $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{x}}$ ו־$\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{x^2}}$ מוגדרות כש־$\displaystyle x\neq0$. מה קורה לערכים שלהן:

• כש־$\displaystyle x$ מתקרב ל־0 מימין, $\displaystyle \frac{1}{x}$ גדל בלי גבול: $\displaystyle {\frac{1}{0.01}}={100}$, $\displaystyle {\frac{1}{0.001}}={1000}$. כש־$\displaystyle x$ מתקרב ל־0 משמאל, $\displaystyle \frac{1}{x}$ שלילי והערך המוחלט שלו גדל בלי גבול.
• כש־$\displaystyle x$ גדל בלי סוף, $\displaystyle \frac{1}{x}$ מתקרב ל־0: $\displaystyle {\frac{1}{1000}}={0.001}$. כך גם כש־$\displaystyle x$ קטן בלי סוף.
• $\displaystyle \frac{1}{x^2}$ חיובית תמיד, ומשני הצדדים של 0 היא גדלה בלי גבול.

ישר שהגרף מתקרב אליו יותר ויותר נקרא אסימפטוטה. לשתי הפונקציות יש אסימפטוטה אנכית $\displaystyle {x}={0}$ ואסימפטוטה אופקית $\displaystyle {y}={0}$.

• $\displaystyle \frac{1}{x}$ אי־זוגית: הגרף שלה סימטרי לראשית הצירים. $\displaystyle \frac{1}{x^2}$ זוגית: הגרף שלה סימטרי לציר ה־$\displaystyle y$.
• $\displaystyle \frac{1}{x}$ יורדת בכל אחד מהצדדים של 0: קצב השינוי הממוצע שלה בין $\displaystyle x_1$ ל־$\displaystyle x_2$ שבאותו צד הוא $\displaystyle \frac{-1}{x_1x_2}$, תמיד שלילי.
• ובכל זאת היא לא יורדת “בכל מקום”: $\displaystyle {f(-1)}={-1}$ קטן מ־$\displaystyle {f(1)}={1}$. בין שני הצדדים יש את $\displaystyle {x}={0}$, שבו היא לא מוגדרת.

ההזזות מזיזות גם את האסימפטוטות:

• האסימפטוטה האנכית היא $\displaystyle {x}={p}$, והאופקית $\displaystyle {y}={k}$.
• $\displaystyle a$ מותח את הגרף, ו־$\displaystyle a<0$ משקף אותו ביחס לאסימפטוטה האופקית.

בגרף שלפניכם, $\displaystyle {y}={\frac{2}{x-1}+3}$: האסימפטוטות $\displaystyle {x}={1}$ ו־$\displaystyle {y}={3}$.

את הגרף של $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ קוראים מהגרף של $\displaystyle f$:

• נקודות האפס של $\displaystyle f$ יוצאות מתחום ההגדרה, ובכל אחת מהן יש לרוב אסימפטוטה אנכית.
• הסימן של $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ הוא הסימן של $\displaystyle f(x)$.
• איפה ש־$\displaystyle f(x)$ גדול מאוד, $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ קרוב ל־0.
• איפה ש־$\displaystyle f$ עולה (ואינה מתאפסת), $\displaystyle \frac{1}{f}$ יורדת, ולהפך.

בגרף שלפניכם, $\displaystyle {f(x)}={x^2-4}$ (מקווקו) ו־$\displaystyle \frac{1}{x^2-4}$:

• $\displaystyle {x^2-4}={0}$ כש־$\displaystyle {x}={\pm2}$: האסימפטוטות האנכיות $\displaystyle {x}={-2}$ ו־$\displaystyle {x}={2}$.
• $\displaystyle x^2-4$ שלילית בין $\displaystyle -2$ ל־2, ולכן גם $\displaystyle \frac{1}{x^2-4}$ שלילית שם.
• לפרבולה מינימום $\displaystyle (0,-4)$, ול־$\displaystyle \frac{1}{x^2-4}$ יש שם מקסימום $\displaystyle \left(0,-\frac{1}{4}\right)$.
• כש־$\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף, $\displaystyle x^2-4$ גדל, ו־$\displaystyle \frac{1}{x^2-4}$ מתקרבת ל־0: האסימפטוטה האופקית $\displaystyle {y}={0}$.

פונקציה רציונלית היא מנה של שני פולינומים, כמו $\displaystyle \frac{2x+1}{x-3}$ או $\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x^2-4}$. תחום ההגדרה שלה: כל $\displaystyle x$ שבו המכנה שונה מ־0.

בנקודת אפס $\displaystyle {x}={a}$ של המכנה יש שני מצבים:

• המונה לא מתאפס ב־$\displaystyle a$: ליד $\displaystyle a$ המכנה קרוב ל־0 והמונה לא, והמנה גדלה בערכה המוחלט בלי גבול. הישר $\displaystyle {x}={a}$ הוא אסימפטוטה אנכית.
• גם המונה מתאפס ב־$\displaystyle a$: אפשר לצמצם בגורם $\displaystyle x-a$. למשל $\displaystyle {\frac{x^2-4}{x-2}}={\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}={x+2}$ לכל $\displaystyle x\neq2$. הגרף הוא הישר $\displaystyle {y}={x+2}$ בלי הנקודה $\displaystyle (2,4)$ – חור בגרף. נקודה כזאת נקראת נקודת אי־רציפות סליקה.

הפונקציה המצומצמת, ביחד עם התנאי $\displaystyle x\neq2$, היא אותה פונקציה – ועם הצורה המצומצמת קל יותר לעבוד.

כש־$\displaystyle x$ גדל מאוד, בכל פולינום החזקה הגבוהה קובעת, והשאר זניח לידה. למשל ב־$\displaystyle \frac{2x^2+1}{x^2-3x}$, כש־$\displaystyle {x}={1000}$: $\displaystyle {2x^2}={2{,}000{,}000}$, ו־1 זניח לידו; $\displaystyle {x^2}={1{,}000{,}000}$, ו־$\displaystyle {3x}={3000}$ קטן מאוד לידו. לכן המנה קרובה ל־$\displaystyle {\frac{2x^2}{x^2}}={2}$.

• מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה: המכנה גדל מהר יותר, והמנה מתקרבת ל־0 – האסימפטוטה $\displaystyle {y}={0}$.
• אותה מעלה: המנה מתקרבת למנת המקדמים של החזקות הגבוהות – $\displaystyle {y}={2}$ בדוגמה.
• מעלת המונה גדולה יותר: למשל ב־$\displaystyle \frac{x^3}{x^2+1}$ המונה גדל מהר יותר, והערכים גדלים בלי גבול – אין אסימפטוטה אופקית.

$\displaystyle \infty$ אינו מספר: אומרים “כש־$\displaystyle x$ גדל בלי סוף”, ולא מחשבים עם $\displaystyle \infty$.

$\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2-x-2}{x^2-4}}$.
בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle f$ בלי נגזרת:

• $\displaystyle {\frac{x^2-x-2}{x^2-4}}={\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)}}$, ותחום ההגדרה: $\displaystyle x\neq2$, $\displaystyle x\neq-2$.
• ב־$\displaystyle {x}={2}$ גם המונה מתאפס: אחרי צמצום $\displaystyle {f(x)}={\frac{x+1}{x+2}}$, ו־$\displaystyle {\frac{2+1}{2+2}}={\frac{3}{4}}$. נקודת אי־רציפות סליקה $\displaystyle \left(2,\frac{3}{4}\right)$.
• ב־$\displaystyle {x}={-2}$ המונה $\displaystyle {(-2-2)(-2+1)}={4\neq0}$: אסימפטוטה אנכית $\displaystyle {x}={-2}$.
• המונה והמכנה ממעלה שנייה, והמקדמים של $\displaystyle x^2$ הם 1 ו־1: אסימפטוטה אופקית $\displaystyle {y}={1}$.
• נקודת האפס: $\displaystyle {x}={-1}$. ועם ציר ה־$\displaystyle y$: $\displaystyle {f(0)}={\frac{-2}{-4}}={\frac{1}{2}}$.
• הסימן, לפי $\displaystyle \frac{x+1}{x+2}$: חיובית כש־$\displaystyle x<-2$ וכש־$\displaystyle x>-1$ (בלי $\displaystyle {x}={2}$), ושלילית כש־$\displaystyle -2<x<-1$.

הלוח לא מסמן חור בגרף: הנקודה $\displaystyle \left(2,\frac{3}{4}\right)$ מסומנת עליו רק כדי להראות איפה החור.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{3}{x+2}-1}$.

כתבו על הלוח את המשוואות של שתי האסימפטוטות של $\displaystyle f$.

מצאו את נקודת האפס של $\displaystyle f$.

על הלוח הגרף של $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{x}}$, ושני גרפים שהתקבלו ממנו בהזזות, במתיחות ובשיקופים.
כתבו לכל אחד מהם פונקציה מהצורה $\displaystyle {y}={\frac{a}{x-p}+k}$.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {g(x)}={\frac{1}{x^2-2x-3}}$.

מצאו את נקודות האפס של המכנה.

כתבו על הלוח את המשוואות של כל האסימפטוטות של $\displaystyle g$.

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle g(x)>0$.
בדקו את התשובה לפי הסימן של הפרבולה $\displaystyle {y}={x^2-2x-3}$.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2-9}{x-3}}$.

צמצמו את השבר.

מהו תחום ההגדרה של $\displaystyle f$?
תארו את הגרף שלה, וכתבו את שיעורי נקודת האי־רציפות הסליקה.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{2x^2-8}{x^2+x-6}}$.

מצאו את נקודות האפס של המכנה, וכתבו את תחום ההגדרה של $\displaystyle f$.

פרקו את המונה ואת המכנה לגורמים, וצמצמו.

כתבו על הלוח את המשוואות של האסימפטוטה האנכית ושל האסימפטוטה האופקית.

כתבו את שיעורי נקודת האי־רציפות הסליקה, את נקודת האפס של $\displaystyle f$ ואת תחומי החיוביות והשליליות שלה.

מצאו את האסימפטוטה האופקית של כל פונקציה, או הסבירו למה אין לה אחת.
נמקו לפי החזקות הגבוהות במונה ובמכנה.

• $\displaystyle {f(x)}={\frac{3x+1}{x^2+4}}$
• $\displaystyle {g(x)}={\frac{4x^2-x}{2x^2+5}}$
• $\displaystyle {h(x)}={\frac{x^3}{x^2+1}}$