חזרה: חשבון דיפרנציאלי

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 26 מתוך 26תרגול

חזרה: חשבון דיפרנציאלי

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(x+2)(x-1)^2}$ .

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.
באיזו נקודה הגרף חוצה את ציר ה־ $\displaystyle x$ , ובאיזו הוא רק נוגע בו?
נמקו לפי הריבוי של כל שורש.

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f(x)>0$ .

בלוח מסומן גם הגרף של $\displaystyle {g(x)}={f(-x)}$ .
כתבו בלוח הגרפים את $\displaystyle g(x)$ .

\displaystyle f(x)=(x+2)(x-1)^{2}

\displaystyle g(x)=\,?

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2-3x}$ .

קצב השינוי הממוצע של $\displaystyle f$ בין $\displaystyle {x}={2}$ ל־ $\displaystyle {x}={2+h}$ הוא $\displaystyle \frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ .
פשטו אותו.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את $\displaystyle f'(2)$ לפי ההגדרה: למה שואף הביטוי שקיבלתם כש־ $\displaystyle h\to0$ ?

$\displaystyle {f(2)}={-2}$ .
כתבו בלוח את משוואת המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle (2,-2)$ .

\displaystyle f(x)=x^{2}-3x

\displaystyle (2,-2)

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x^2-9x+5}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.
כתבו בלוח את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $\displaystyle {x}={0}$ .

\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5

כתבו את תחומי העלייה והירידה של $\displaystyle f$ .
לאילו ערכים של $\displaystyle k$ יש למשוואה $\displaystyle {f(x)}={k}$ שלושה פתרונות?
נמקו לפי נקודות הקיצון.

גזרו לפי הכללים של נגזרת מכפלה ושל פונקציה מורכבת, ופרקו את התוצאה לגורמים.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{8-2x}+x}$ .

מצאו את תחום ההגדרה של $\displaystyle f$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\sqrt{8-2x}+x$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

חשבו את ערך הפונקציה בנקודה שמצאתם.

$\displaystyle f(x)=\sqrt{8-2x}+x$

כתבו את כל נקודות הקיצון של $\displaystyle f$ , כולל קיצון בקצה, וקבעו את סוגן.
כתבו את תחומי העלייה והירידה.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{3x}{x^2-1}}$ .

כתבו בלוח את המשוואות של כל האסימפטוטות של $\displaystyle f$ .

\displaystyle f(x)=\frac{3x}{x^{2}-1}

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{3x}{x^{2}-1}$

הראו ש־ $\displaystyle f'(x)<0$ בכל תחום ההגדרה.
מה אפשר להסיק על נקודות הקיצון של $\displaystyle f$ ?
האם $\displaystyle f$ זוגית, אי־זוגית או לא זה ולא זה?

כתבו בלוח את משוואת המשיק לגרף בראשית הצירים.

\displaystyle f(x)=\frac{3x}{x^{2}-1}

\displaystyle x=-1

\displaystyle x=1

חקלאי רוצה לגדר חלקה מלבנית בשטח 800 מ"ר לאורך קיר ארוך.
לאורך הקיר אין צורך בגדר, ושלוש הצלעות האחרות מגודרות.
$\displaystyle x$ – האורך של כל אחת משתי הצלעות שמאונכות לקיר, במטרים.
מהן המידות של החלקה שבשבילן הגדר הכי קצרה, ומה האורך שלה?

\displaystyle x

הצלע השנייה

הגדר

מפח ריבועי שהצלע שלו 12 ס"מ חותכים בכל פינה ריבוע שהצלע שלו $\displaystyle x$ ס"מ, ומקפלים את השוליים לתיבה פתוחה.

הראו שהנפח של התיבה הוא $\displaystyle {V(x)}={x(12-2x)^2}$ .
מהו התחום של $\displaystyle x$ ?

מצאו את $\displaystyle V'(x)$ .

$\displaystyle V(x)=x(12-2x)^{2}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {V'(x)}={0}$ .
איזה פתרון נמצא מחוץ לתחום?

חשבו את הנפח הגדול ביותר.

$\displaystyle V(x)=x(12-2x)^{2}$

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$