הנגזרת של פונקציית השורש

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 19 מתוך 26לימוד

הנגזרת של פונקציית השורש

הנגזרת של

\displaystyle \sqrt{x}

מההגדרה

הנגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$ היא $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ . בהוכחה שלפניכם נכתוב את קצב השינוי הממוצע של $\displaystyle \sqrt{x}$ בין $\displaystyle x$ ל־ $\displaystyle x+h$ , נכפול את המונה ואת המכנה בביטוי הצמוד $\displaystyle \sqrt{x+h}+\sqrt{x}$ , ונראה לאיזה מספר המנה שואפת כש־ $\displaystyle h\to0$ .

\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}

במונה יש הפרש ריבועים: $\displaystyle {(\sqrt{x+h})^2-(\sqrt{x})^2}={(x+h)-x}={h}$ .

=\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}

כש־ $\displaystyle h\to0$ , $\displaystyle \sqrt{x+h}\to\sqrt{x}$ , ולכן המכנה שואף ל־ $\displaystyle 2\sqrt{x}$ .

\displaystyle (\sqrt{x})'

\displaystyle =

\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}

\displaystyle x>0

הנגזרת דרך השיקוף

$\displaystyle \sqrt{x}$ היא השיקוף של $\displaystyle x^2$ (כש־ $\displaystyle x\geq0$ ) ביחס לישר $\displaystyle {y}={x}$ , ולכן גם המשיקים שלהן משתקפים זה לזה. בשיקוף מתחלפים ה"צעד ימינה" וה"צעד למעלה", ולכן השיפוע של המשיק המשתקף הוא ההופכי של השיפוע המקורי.

בגרף שלפניכם:

המשיק ל־ $\displaystyle {y}={x^2}$ בנקודה $\displaystyle (2,4)$ שיפועו $\displaystyle {2\cdot2}={4}$ .
המשיק ל־ $\displaystyle {y}={\sqrt{x}}$ בנקודה $\displaystyle (4,2)$ הוא השיקוף שלו, ושיפועו $\displaystyle \frac{1}{4}$ .

\displaystyle f(x)=x^{2}

\displaystyle g(x)=\sqrt{x}

\displaystyle y=x

\displaystyle y=4x-4

\displaystyle y=\frac{1}{4}x+1

\displaystyle A=(2,4)

\displaystyle B=(4,2)

באופן כללי, בנקודה $\displaystyle (a,a^2)$ שיפוע המשיק לפרבולה הוא $\displaystyle 2a$ , ובנקודה המשתקפת $\displaystyle (a^2,a)$ שיפוע המשיק לשורש הוא $\displaystyle \frac{1}{2a}$ . כאן $\displaystyle {x}={a^2}$ , כלומר $\displaystyle {a}={\sqrt{x}}$ – ושוב קיבלנו $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

משיק אנכי בראשית הצירים

ב־ $\displaystyle {x}={0}$ אין ל־ $\displaystyle \sqrt{x}$ נגזרת: $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{0}}$ הוא חילוק ב־0. בגרף רואים למה:

המשיק לפרבולה בראשית הצירים הוא ציר ה־ $\displaystyle x$ , שיפועו 0.
השיקוף שלו הוא ציר ה־ $\displaystyle y$ : משיק אנכי, ולישר אנכי אין שיפוע.
ככל ש־ $\displaystyle x$ מתקרב ל־0, $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ גדל בלי גבול – הגרף נעשה תלול יותר ויותר.

שורש של פונקציה

לפי כלל השרשרת, הנגזרת של $\displaystyle \sqrt{f(x)}$ היא הנגזרת החיצונית, $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{f(x)}}$ , כפול הנגזרת הפנימית, $\displaystyle f'(x)$ :

\displaystyle (\sqrt{f(x)})'

\displaystyle =

\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}

\displaystyle f(x)>0

$\displaystyle {(\sqrt{ax+b})'}={\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}}$ . למשל $\displaystyle {(\sqrt{4x-3})'}={\frac{4}{2\sqrt{4x-3}}}={\frac{2}{\sqrt{4x-3}}}$ .
$\displaystyle {(\sqrt{x^2+16})'}={\frac{2x}{2\sqrt{x^2+16}}}={\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}}$ .

משיק לגרף של פונקציית שורש

משוואת המשיק נמצאת כמו בפולינום: נקודה ושיפוע. בדוגמה שלפניכם נמצא את המשיק לגרף של $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}}$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={4}$ :

$\displaystyle {f(4)}={\sqrt{4}}={2}$ : נקודת ההשקה $\displaystyle (4,2)$ .
$\displaystyle {f'(4)}={\frac{1}{2\sqrt{4}}}={\frac{1}{4}}$ : שיפוע המשיק.
$\displaystyle {y-2}={\frac{1}{4}(x-4)}$ , כלומר $\displaystyle {y}={\frac{1}{4}x+1}$ .

\displaystyle f(x)=\sqrt{x}

\displaystyle y=\frac{1}{4}x+1

\displaystyle A=(4,2)

תרגיל 1

$\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}}$ .
קצב השינוי הממוצע של $\displaystyle f$ בין $\displaystyle {x}={9}$ ל־ $\displaystyle {x}={9+h}$ הוא $\displaystyle \frac{\sqrt{9+h}-3}{h}$ .

כפלו במונה ובמכנה בביטוי הצמוד $\displaystyle \sqrt{9+h}+3$ , וצמצמו.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

לאיזה מספר שואפת המנה כש־ $\displaystyle h\to0$ ?
מהו $\displaystyle f'(9)$ ? בדקו לפי הנוסחה $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

תרגיל 2

גזרו.

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{2x+1}}$ .
חשבו את $\displaystyle f'(4)$ .

$\displaystyle f(x)=\sqrt{2x+1}$

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x+5}}$ .
הנקודה $\displaystyle (4,3)$ נמצאת על הגרף שלה.

חשבו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle (4,3)$ .

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x+5}$

כתבו את משוואת המשיק בשורה משלכם על הלוח.

\displaystyle f(x)=\sqrt{x+5}

\displaystyle (4,3)

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{2x-1}}$ .
בנקודה $\displaystyle A$ שעל הגרף שיפוע המשיק הוא $\displaystyle \frac{1}{3}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\sqrt{2x-1}$

פתרו את המשוואה: מהו שיעור ה־ $\displaystyle x$ של $\displaystyle A$ ?

כתבו על הלוח את משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle A$ .

\displaystyle f(x)=\sqrt{2x-1}

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x-2}}$ .
באיזו נקודה על הגרף המשיק אנכי?
הסבירו למה אין ל־ $\displaystyle f$ נגזרת בנקודה הזאת.

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$