פונקציית השורש והפונקציה ההפוכה

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל) שיעור 18 מתוך 26לימוד

פונקציית השורש והפונקציה ההפוכה

פונקציה הפוכה

הפונקציה ההפוכה ל־ $\displaystyle f$ עושה את הדרך חזרה: אם $\displaystyle f$ מתאימה ל־ $\displaystyle x$ את $\displaystyle y$ , ההפוכה מתאימה ל־ $\displaystyle y$ את $\displaystyle x$ .

$\displaystyle {f(x)}={2x+1}$ מתאימה ל־3 את 7, וההפוכה $\displaystyle {g(x)}={\frac{x-1}{2}}$ מתאימה ל־7 את 3.
מוצאים את ההפוכה כך: כותבים $\displaystyle {y}={f(x)}$ , מבודדים את $\displaystyle x$ , ומחליפים את שמות המשתנים.
בגרף, החלפת $\displaystyle x$ ו־ $\displaystyle y$ היא שיקוף ביחס לישר $\displaystyle {y}={x}$ : הנקודה $\displaystyle (3,7)$ עוברת ל־ $\displaystyle (7,3)$ .

\displaystyle f(x)=2x+1

\displaystyle g(x)=\frac{x-1}{2}

\displaystyle y=x

לפונקציה יש הפוכה רק אם כל ערך $\displaystyle y$ מתקבל בה מ־ $\displaystyle x$ אחד בלבד – למשל פונקציה שרק עולה או רק יורדת. ל־ $\displaystyle {y}={x^2}$ אין הפוכה: גם $\displaystyle {x}={2}$ וגם $\displaystyle {x}={-2}$ נותנים $\displaystyle {y}={4}$ , ואין לאן לחזור מ־4.

פונקציית השורש הריבועי

אם מסתכלים על $\displaystyle {y}={x^2}$ רק ב־ $\displaystyle x\geq0$ , היא עולה, ויש לה הפוכה: פונקציית השורש הריבועי $\displaystyle {y}={\sqrt{x}}$ . $\displaystyle \sqrt{a}$ הוא המספר האי־שלילי שהריבוע שלו $\displaystyle a$ .

\displaystyle \sqrt{x}

\displaystyle =

\displaystyle x^{\frac{1}{2}}

בגרף שלפניכם, $\displaystyle {y}={\sqrt{x}}$ הוא השיקוף של החצי הימני של הפרבולה ביחס לישר $\displaystyle {y}={x}$ :

\displaystyle f(x)=\sqrt{x}

\displaystyle y=x^{2}

\displaystyle y=x

תחום ההגדרה: $\displaystyle x\geq0$ , ותמיד $\displaystyle \sqrt{x}\geq0$ .
נקודת האפס היחידה: $\displaystyle (0,0)$ .
הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה שלה, ו־ $\displaystyle (0,0)$ היא נקודת מינימום בקצה תחום ההגדרה.
היא עולה לאט יותר ויותר: מ־0 עד 1 היא עולה ב־1, ומ־1 עד 4 – גם כן רק ב־1.

שורש שלישי ושורש של ריבוע

$\displaystyle {y}={x^3}$ עולה בכל מקום, ולכן יש לה הפוכה בכל הישר: פונקציית השורש השלישי $\displaystyle {y}={\sqrt[3]{x}}$ .

\displaystyle \sqrt[3]{x}

\displaystyle =

\displaystyle x^{\frac{1}{3}}

היא מוגדרת לכל $\displaystyle x$ : $\displaystyle {\sqrt[3]{8}}={2}$ , ו־ $\displaystyle {\sqrt[3]{-8}}={-2}$ כי $\displaystyle {(-2)^3}={-8}$ .

בשורש ריבועי של ריבוע צריך זהירות: $\displaystyle {\sqrt{(-3)^2}}={\sqrt{9}}={3}$ , ולא $\displaystyle -3$ . השורש תמיד אי־שלילי, ולכן:

\displaystyle \sqrt{x^2}

\displaystyle =

\displaystyle |x|

הזזות ומתיחות של

\displaystyle \sqrt{x}

ההזזות והמתיחות שלמדתם פועלות גם על $\displaystyle \sqrt{x}$ :

\displaystyle y

\displaystyle =

\displaystyle a\sqrt{x-p}+k

הגרף מתחיל בנקודה $\displaystyle (p,k)$ , ותחום ההגדרה הוא $\displaystyle x\geq p$ .
$\displaystyle a>0$ : הגרף עולה מהנקודה הזאת. $\displaystyle a<0$ : הוא יורד ממנה.

בגרף שלפניכם, $\displaystyle {y}={2\sqrt{x-1}+1}$ :

\displaystyle f(x)=\sqrt{x}

\displaystyle g(x)=2\sqrt{x-1}+1

\displaystyle A=(1,1)

$\displaystyle \sqrt{x}$ הוזזה יחידה ימינה ויחידה למעלה, ונמתחה פי 2.
היא מתחילה ב־ $\displaystyle (1,1)$ , מוגדרת כש־ $\displaystyle x\geq1$ ועולה.

שורש של פונקציה

ב־ $\displaystyle {y}={\sqrt{f(x)}}$ הפונקציה הפנימית היא $\displaystyle f$ , והחיצונית היא השורש. מה שקוראים מ־ $\displaystyle f$ :

תחום ההגדרה: אין שורש למספר שלילי, ולכן $\displaystyle \sqrt{f(x)}$ מוגדרת כש־ $\displaystyle f(x)\geq0$ .
נקודות האפס: נקודות האפס של $\displaystyle f$ .
עלייה וירידה: השורש עולה, ולכן $\displaystyle \sqrt{f(x)}$ עולה איפה ש־ $\displaystyle f$ עולה, ויורדת איפה ש־ $\displaystyle f$ יורדת.

בדוגמה שלפניכם נקרא כך את $\displaystyle {y}={\sqrt{6-2x}}$ :

$\displaystyle 6-2x\geq0$ כש־ $\displaystyle x\leq3$ : זה תחום ההגדרה.
$\displaystyle {6-2x}={0}$ כש־ $\displaystyle {x}={3}$ : נקודת האפס $\displaystyle (3,0)$ , בקצה התחום.
$\displaystyle 6-2x$ יורדת, ולכן גם $\displaystyle \sqrt{6-2x}$ יורדת בכל תחום ההגדרה.

משוואה עם שורש

משוואה עם שורש פותרים בהעלאה בריבוע של שני האגפים. ההעלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרון: גם $\displaystyle {2}={-2}$ , שאינו נכון, נותן אחרי העלאה בריבוע $\displaystyle {4}={4}$ . לכן בודקים כל פתרון במשוואה המקורית.

בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {\sqrt{x+3}}={x-3}$ :

נעלה בריבוע: $\displaystyle {x+3}={x^2-6x+9}$ , ומכאן $\displaystyle {x^2-7x+6}={0}$ , כלומר $\displaystyle {(x-1)(x-6)}={0}$ .
$\displaystyle {x}={1}$ : באגף שמאל $\displaystyle {\sqrt{4}}={2}$ , ובאגף ימין $\displaystyle {1-3}={-2}$ . זה לא פתרון.
$\displaystyle {x}={6}$ : באגף שמאל $\displaystyle {\sqrt{9}}={3}$ , ובאגף ימין $\displaystyle {6-3}={3}$ . זה הפתרון היחיד.

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={3x-6}$ .
מצאו את הפונקציה ההפוכה לה, וכתבו אותה בשורה משלכם על הלוח.
בדקו שהגרף שלה הוא השיקוף של הגרף של $\displaystyle f$ ביחס לישר $\displaystyle {y}={x}$ .

\displaystyle f(x)=3x-6

\displaystyle y=x

תרגיל 2

על הלוח הגרף של $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}}$ , ושלושה גרפים שהתקבלו ממנו בהזזות, במתיחות ובשיקופים.
כתבו לכל אחד מהם פונקציה מהצורה $\displaystyle {y}={a\sqrt{x-p}+k}$ .

\displaystyle f(x)=\sqrt{x}

\displaystyle g(x)=\,?

\displaystyle h(x)=\,?

\displaystyle k(x)=\,?

תרגיל 3

מצאו את תחום ההגדרה של כל פונקציה.

$\displaystyle {f(x)}={\sqrt{8-2x}}$

$\displaystyle {g(x)}={\sqrt{x^2-x-6}}$

כתבו את נקודות האפס של $\displaystyle f$ ושל $\displaystyle g$ .
איפה $\displaystyle g$ עולה? נמקו לפי הפרבולה $\displaystyle {y}={x^2-x-6}$ .

תרגיל 4

פתרו את המשוואות.
בדקו כל פתרון במשוואה המקורית.

תרגיל 5

חשבו.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

דנה כתבה: “ $\displaystyle {\sqrt{x^2}}={x}$ לכל $\displaystyle x$ ”.
תנו דוגמה שמראה שהיא טועה, וכתבו מה נכון.

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$