משוואת המשיק

המשיק לגרף של $\displaystyle f$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={x_1}$ הוא ישר שעובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$, ושיפועו הוא הנגזרת שם:

ישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$:

לכן מוצאים את משוואת המשיק בשלושה צעדים:

• $\displaystyle {y_1}={f(x_1)}$ – שיעור ה־$\displaystyle y$ של הנקודה;
• $\displaystyle {m}={f'(x_1)}$ – השיפוע;
• מציבים ב־$\displaystyle {y-y_1}={m(x-x_1)}$ ומעבירים לצורה $\displaystyle {y}={mx+b}$.

בדוגמה שלפניכם נמצא את משוואת המשיק לגרף של $\displaystyle {f(x)}={x^3-2x+1}$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={1}$.

• $\displaystyle {y_1}={f(1)}={1-2+1}={0}$: הנקודה היא $\displaystyle (1,0)$.
• $\displaystyle {f'(x)}={3x^2-2}$, ולכן $\displaystyle {m}={f'(1)}={3-2}={1}$.
• $\displaystyle {y-0}={1\cdot(x-1)}$, כלומר $\displaystyle {y}={x-1}$.

ליד $\displaystyle (1,0)$ המשיק כמעט מתלכד עם הגרף. רחוק מהנקודה הוא יכול לחתוך את הגרף שוב – כאן ב־$\displaystyle {x}={-2}$, בנקודה $\displaystyle (-2,-3)$.

כשנתון השיפוע של המשיק ולא הנקודה, השיפוע קובע את הנקודה: פותרים את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={m}$.
ישרים מקבילים הם ישרים עם אותו שיפוע, ולכן משיק שמקביל לישר נתון הוא משיק עם השיפוע של הישר.

בדוגמה שלפניכם נמצא את המשיק לגרף של $\displaystyle {f(x)}={x^2-6x+5}$ שמקביל לישר $\displaystyle {y}={2x+3}$.

• השיפוע של הישר 2, ולכן נפתור $\displaystyle {f'(x)}={2}$: $\displaystyle {2x-6}={2}$, כלומר $\displaystyle {x}={4}$.
• $\displaystyle {y_1}={f(4)}={16-24+5}={-3}$: הנקודה היא $\displaystyle (4,-3)$.
• $\displaystyle {y+3}={2(x-4)}$, כלומר $\displaystyle {y}={2x-11}$.

• משיק אופקי: שיפוע 0, ולכן הוא נמצא בנקודה שבה $\displaystyle {f'(x)}={0}$. משוואתו $\displaystyle {y}={y_1}$. בפרבולה – המשיק בקודקוד.
• נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים: המשיק הוא ישר, ולכן מציבים בו $\displaystyle {x}={0}$ (חיתוך עם ציר ה־$\displaystyle y$) או $\displaystyle {y}={0}$ (חיתוך עם ציר ה־$\displaystyle x$).

למשל, המשיק $\displaystyle {y}={2x-11}$ חותך את ציר ה־$\displaystyle y$ ב־$\displaystyle (0,-11)$, ואת ציר ה־$\displaystyle x$ כש־$\displaystyle {2x-11}={0}$, כלומר ב־$\displaystyle (5.5,0)$.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2-3x+2}$.
הנקודה $\displaystyle (3,2)$ נמצאת על הגרף שלה.

חשבו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle (3,2)$.

כתבו על הלוח את משוואת המשיק.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={-x^3+3x^2}$.
כתבו על הלוח את משוואת המשיק לגרף של $\displaystyle f$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={1}$.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x^2}$.
לגרף שלה יש שני משיקים ששיפועם 9.

כתבו משוואה ופתרו אותה: באילו ערכי $\displaystyle x$ שיפוע המשיק הוא 9?

כתבו על הלוח את המשוואות של שני המשיקים.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2+4x}$.

באיזה ערך של $\displaystyle x$ המשיק לגרף אופקי?
כתבו משוואה ופתרו אותה.

כתבו על הלוח את משוואת המשיק האופקי.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2-4}$.

כתבו על הלוח את משוואת המשיק לגרף בנקודה $\displaystyle (1,-3)$.

מצאו את שיעור ה־$\displaystyle x$ של נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה־$\displaystyle x$.

המשיק חותך את ציר ה־$\displaystyle y$ ב־$\displaystyle (0,-5)$.
חשבו את השטח של המשולש שהמשיק יוצר עם הצירים.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2+bx}$ ($\displaystyle b$ פרמטר).
המשיק לגרף בנקודה שבה $\displaystyle {x}={1}$ מקביל לישר $\displaystyle {y}={5x}$.

$\displaystyle {f'(x)}={2x+b}$.
כתבו משוואה ב־$\displaystyle b$ ופתרו אותה.

כתבו את משוואת המשיק.