הזזות, מתיחות ושיקופים

את ההזזות של הפרבולה הכרתם בכיתה ט’. הן פועלות על הגרף של כל פונקציה:

• $\displaystyle {y}={f(x)+k}$: כל נקודה עולה $\displaystyle k$ יחידות ($\displaystyle k<0$ – יורדת).
• $\displaystyle {y}={f(x-p)}$: כל נקודה זזה $\displaystyle p$ יחידות ימינה ($\displaystyle p<0$ – שמאלה). הערך ש־$\displaystyle f$ קיבלה ב־$\displaystyle x$, הפונקציה החדשה מקבלת ב־$\displaystyle x+p$.

בלוח שלפניכם $\displaystyle {f(x)}={x^2}$ ו־$\displaystyle {g(x)}={(x-2)^2+1}$: הקודקוד $\displaystyle (0,0)$ זז 2 ימינה ו־1 למעלה, אל $\displaystyle (2,1)$.

ב־$\displaystyle {y}={a\cdot f(x)}$ כל ערך $\displaystyle y$ כפול $\displaystyle a$, ו־$\displaystyle x$ לא משתנה:

• $\displaystyle a>1$: הגרף נמתח מציר ה־$\displaystyle x$ ($\displaystyle 2x^2$ צרה יותר מ־$\displaystyle x^2$). $\displaystyle 0<a<1$: הגרף מתכווץ אל הציר.
• נקודות האפס נשארות במקומן: $\displaystyle {a\cdot0}={0}$.
• נקודת קיצון נשארת באותו $\displaystyle x$, ושיעור ה־$\displaystyle y$ שלה כפול $\displaystyle a$.

ב־$\displaystyle {y}={f(ax)}$ ($\displaystyle a>0$) הפונקציה החדשה מקבלת ב־$\displaystyle x$ את הערך ש־$\displaystyle f$ מקבלת ב־$\displaystyle ax$. לכן כל נקודה $\displaystyle (x,y)$ של $\displaystyle f$ עוברת אל $\displaystyle \left(\frac{x}{a},y\right)$:

• $\displaystyle a>1$: הגרף מתכווץ אל ציר ה־$\displaystyle y$. $\displaystyle 0<a<1$: הוא נמתח ממנו.
• נקודות האפס מתחלקות ב־$\displaystyle a$, וערכי $\displaystyle y$ לא משתנים.

בלוח שלפניכם $\displaystyle {f(x)}={x^2-4}$, שנקודות האפס שלה $\displaystyle \pm2$, ו־$\displaystyle {f(2x)}={(2x)^2-4}={4x^2-4}$, שנקודות האפס שלה $\displaystyle \pm1$.

• $\displaystyle {y}={-f(x)}$: שיקוף ביחס לציר ה־$\displaystyle x$. כל נקודה $\displaystyle (x,y)$ עוברת אל $\displaystyle (x,-y)$; מקסימום נהיה מינימום.
• $\displaystyle {y}={f(-x)}$: שיקוף ביחס לציר ה־$\displaystyle y$. כל נקודה $\displaystyle (x,y)$ עוברת אל $\displaystyle (-x,y)$.
• פונקציה זוגית לא משתנה בשיקוף ביחס לציר ה־$\displaystyle y$: $\displaystyle {f(-x)}={f(x)}$.

הטבלה שלפניכם מראה לאן עוברת נקודה $\displaystyle (x,y)$ של הגרף של $\displaystyle f$:

כך עוברות גם נקודות האפס ונקודות הקיצון. הזזה ושינוי בצורה לא משנים את מספר נקודות הקיצון.

כל הגרפים מהצורה $\displaystyle {y}={a(x-p)^n+k}$ נבנים מהגרף של $\displaystyle {y}={x^n}$: מתיחה פי $\displaystyle a$ (ושיקוף כש־$\displaystyle a<0$), הזזה $\displaystyle p$ ימינה ו־$\displaystyle k$ למעלה. הנקודה $\displaystyle (0,0)$ של $\displaystyle x^n$ עוברת אל $\displaystyle (p,k)$.

בדוגמה שלפניכם נבנה את $\displaystyle {y}={-2(x-1)^3+4}$ מ־$\displaystyle {y}={x^3}$ (בלוח – מקווקו):

• $\displaystyle {a}={-2}$: מתיחה פי 2 ושיקוף ביחס לציר ה־$\displaystyle x$. $\displaystyle x^3$ עולה בכל מקום, ולכן $\displaystyle -2x^3$ יורדת בכל מקום.
• $\displaystyle {p}={1}$, $\displaystyle {k}={4}$: הנקודה $\displaystyle (0,0)$ עוברת אל $\displaystyle (1,4)$.

בלוח שלפניכם הגרף של $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x}$, ונקודות הקיצון שלו $\displaystyle (-1,2)$ ו־$\displaystyle (1,-2)$.
הגרף של $\displaystyle g$ התקבל מהגרף של $\displaystyle f$ בהזזה.
כתבו בשורה של הלוח את $\displaystyle g(x)$.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^2-2x-3}$, ונקודות האפס שלה $\displaystyle {x}={-1}$ ו־$\displaystyle {x}={3}$.

כתבו את $\displaystyle f(2x)$ בלי סוגריים.

מצאו את נקודות האפס של $\displaystyle f(2x)$.

איך מתקבלות נקודות האפס של $\displaystyle f(2x)$ מנקודות האפס של $\displaystyle f$?
נמקו לפי הכיווץ.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-x^2}$.

חשבו את $\displaystyle f(-x)$.

בלוח הגרפים של $\displaystyle f$, של $\displaystyle -f(x)$ ושל $\displaystyle f(-x)$.
כתבו בשורות של הלוח את שתי הפונקציות שהגרפים שלהן מסומנים “?”.

הגרף שבלוח התקבל מהגרף של $\displaystyle {y}={x^4}$ בשיקוף ובהזזה.
כתבו בשורה של הלוח את הפונקציה שלו.

הגרף שבלוח התקבל מהגרף של $\displaystyle {y}={|x|}$ במתיחה ובהזזות.

כתבו בשורה של הלוח את הפונקציה שלו.

מצאו את נקודות האפס שלו בחישוב.

לגרף של $\displaystyle f$ יש נקודת מקסימום אחת, $\displaystyle (2,5)$, ונקודת אפס אחת, $\displaystyle {x}={-1}$.
כתבו את נקודת הקיצון ואת נקודת האפס של כל פונקציה, וקבעו את סוג נקודת הקיצון:

• $\displaystyle {g(x)}={f(x+4)}$
• $\displaystyle {h(x)}={-f(x)}$
• $\displaystyle {k(x)}={f(2x)}$
• $\displaystyle {m(x)}={3f(x)}$