דלג לתוכן

קעירות: השתנות קצב השינוי

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 2 מתוך 26לימוד

קעירות: השתנות קצב השינוי

שיפוע שגדל ושיפוע שקטן

הנגזרת אומרת כמה מהר הפונקציה משתנה. גם הקצב הזה יכול להשתנות: כשהולכים לאורך הגרף משמאל לימין, שיפוע המשיק יכול לגדול או לקטון. בלוח שלפניכם הגרפים של f(x)=x2\displaystyle {f(x)}={x^2} ושל g(x)=−x2\displaystyle {g(x)}={-x^2}:

f(x)=x2\displaystyle f(x)=x^{2}
g(x)=−x2\displaystyle g(x)=-x^{2}

השיפועים של המשיקים בכמה נקודות:

x\displaystyle x−2\displaystyle -2−1\displaystyle -10\displaystyle 01\displaystyle 12\displaystyle 2
f′(x)=2x\displaystyle {f'(x)}={2x}−4\displaystyle -4−2\displaystyle -20\displaystyle 02\displaystyle 24\displaystyle 4
g′(x)=−2x\displaystyle {g'(x)}={-2x}4\displaystyle 42\displaystyle 20\displaystyle 0−2\displaystyle -2−4\displaystyle -4
  • השיפוע של f\displaystyle f גדל כל הזמן: הגרף מתכופף כלפי מעלה, כמו ∪\displaystyle \cup.
  • השיפוע של g\displaystyle g קטן כל הזמן: הגרף מתכופף כלפי מטה, כמו ∩\displaystyle \cap.
קעורה כלפי מעלה, קעורה כלפי מטה

הכיוון שבו הגרף מתכופף נקבע לפי השאלה אם השיפוע שלו גדל או קטן:

  • פונקציה קעורה כלפי מעלה (∪\displaystyle \cup) בתחום שבו הנגזרת f′\displaystyle f' עולה – קצב השינוי הולך וגדל.
  • פונקציה קעורה כלפי מטה (∩\displaystyle \cap) בתחום שבו הנגזרת f′\displaystyle f' יורדת – קצב השינוי הולך וקטן.
  • התחומים האלה הם תחומי הקעירות של הפונקציה.

הקעירות לא תלויה בשאלה אם הפונקציה עולה או יורדת: פונקציה עולה יכולה להיות קעורה כלפי מעלה (עולה מהר יותר ויותר) או קעורה כלפי מטה (עולה לאט יותר ויותר).

משיקים ומיתרים

מיתר הוא קטע שמחבר שתי נקודות על הגרף. בלוח שלפניכם הגרף של f(x)=x2\displaystyle {f(x)}={x^2}, המשיק y=2x−1\displaystyle {y}={2x-1} בנקודה (1,1)\displaystyle (1,1) והמיתר בין (0,0)\displaystyle (0,0) ל־(1,1)\displaystyle (1,1), שנמצא על הישר y=x\displaystyle {y}={x}:

f(x)=x2\displaystyle f(x)=x^{2}
y=2x−1\displaystyle y=2x-1
y=x\displaystyle y=x
  • בפונקציה קעורה כלפי מעלה, הגרף מעל המשיקים שלו, והמיתרים מעל הגרף.
  • בפונקציה קעורה כלפי מטה – להפך: הגרף מתחת למשיקים שלו, והמיתרים מתחת לגרף.
ירידה שנעשית תלולה יותר

זהירות: כשפונקציה יורדת ונעשית תלולה יותר, השיפוע שלה קטן. למשל, השיפועים −1\displaystyle -1, −3\displaystyle -3, −6\displaystyle -6 הולכים וקטנים. לכן ירידה שנעשית תלולה יותר היא קעירות כלפי מטה, וירידה שנעשית מתונה יותר היא קעירות כלפי מעלה.

דוגמה: x3\displaystyle x^3

בדוגמה שלפניכם נמצא את תחומי הקעירות של f(x)=x3\displaystyle {f(x)}={x^3}:

  • f′(x)=3x2\displaystyle {f'(x)}={3x^2} – פרבולה שיורדת כש־x<0\displaystyle x<0 ועולה כש־x>0\displaystyle x>0.
  • לכן f\displaystyle f קעורה כלפי מטה כש־x<0\displaystyle x<0, וקעורה כלפי מעלה כש־x>0\displaystyle x>0.
f(x)=x3\displaystyle f(x)=x^{3}
  • f\displaystyle f עולה בכל מקום, אבל בשני אופנים שונים: משמאל ל־0 העלייה נעשית מתונה יותר, ומימין ל־0 היא נעשית תלולה יותר.
  • בנקודה (0,0)\displaystyle (0,0) הגרף עובר מקעירות כלפי מטה לקעירות כלפי מעלה.
תרגיל 1

מכונית יוצאת לדרך.
בטבלה – המרחק s\displaystyle s שעברה (במטרים) אחרי t\displaystyle t שניות:

t\displaystyle t012345
s\displaystyle s01491625
א

חשבו את המהירות הממוצעת בין t=1\displaystyle {t}={1} ל־t=2\displaystyle {t}={2}.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    חשבו את המהירות הממוצעת בין t=3\displaystyle {t}={3} ל־t=4\displaystyle {t}={4}.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      האם הגרף של s\displaystyle s לפי t\displaystyle t קעור כלפי מעלה או כלפי מטה? נמקו.

      תרגיל 2

      נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x\displaystyle {f(x)}={x^3-3x}.
      הנגזרת שלה, f′(x)=3x2−3\displaystyle {f'(x)}={3x^2-3}, יורדת כש־x<0\displaystyle x<0 ועולה כש־x>0\displaystyle x>0.

      א

      סמנו על הגרף את הנקודה שבה הגרף עובר מקעירות כלפי מטה לקעירות כלפי מעלה.

      f(x)=x3−3x\displaystyle f(x)=x^{3}-3x

      ב

      כתבו את תחומי הקעירות של f\displaystyle f.
      בתחום 0<x<1\displaystyle 0<x<1 הפונקציה יורדת. האם הירידה שם נעשית תלולה יותר או מתונה יותר?

      תרגיל 3

      נתונה הפונקציה f(x)=1x\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{x}}, בתחום x>0\displaystyle x>0.

      א

      חשבו את שיפוע המשיק לגרף כש־x=1\displaystyle {x}={1}.

      f(x)=1x\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב

        חשבו את שיפוע המשיק לגרף כש־x=2\displaystyle {x}={2}.

        f(x)=1x\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ג

          f′(x)=−1x2\displaystyle {f'(x)}={-\frac{1}{x^2}}.
          האם f′\displaystyle f' עולה או יורדת בתחום x>0\displaystyle x>0?
          האם f\displaystyle f קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה שם?

          תרגיל 4

          נתונה הפונקציה f(x)=4−x2\displaystyle {f(x)}={4-x^2}.
          הנקודה (1,3)\displaystyle (1,3) נמצאת על הגרף שלה.

          א

          כתבו בלוח את משוואת המשיק לגרף בנקודה (1,3)\displaystyle (1,3).

          f(x)=4−x2\displaystyle f(x)=4-x^{2}
          (1,3)\displaystyle (1,3)

          ב

          האם המשיק מעל הגרף או מתחתיו?
          איך זה מתאים לקעירות של f\displaystyle f?