דלג לתוכן

בעיות ערך קיצון בתחום סגור ובתחום פתוח

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 18 מתוך 26לימוד

בעיות ערך קיצון בתחום סגור ובתחום פתוח

הערך הגדול ביותר והקטן ביותר

בתחום סגור a≤x≤b\displaystyle a\leq x\leq b, פונקציה רציפה מקבלת ערך גדול ביותר וערך קטן ביותר, וכל אחד מהם נמצא באחד משני סוגי מקומות:

  • בנקודה בתוך התחום שבה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}, או שבה הנגזרת לא מוגדרת;
  • באחד מקצות התחום, x=a\displaystyle {x}={a} או x=b\displaystyle {x}={b} – קיצון בקצה.

לכן מחשבים את הערכים בכל הנקודות האלה ומשווים ביניהם; אין צורך בטבלת סימנים.

בתחום פתוח אין קצוות לבדוק, וייתכן שאין לפונקציה ערך גדול ביותר או ערך קטן ביותר: היא יכולה להתקרב לערך בלי להגיע אליו. שם קובעים את סוג הנקודה בטבלת סימנים של f′\displaystyle f', ובודקים מה הפונקציה עושה ליד קצות התחום.

דוגמה: תחום סגור ותחום פתוח

בדוגמה שלפניכם נמצא את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f(x)=xx2+4\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{x^2+4}}, קודם בתחום 0≤x≤5\displaystyle 0\leq x\leq5 ואחר כך בתחום x>0\displaystyle x>0.

  • f′(x)=1⋅(x2+4)−x⋅2x(x2+4)2=4−x2(x2+4)2\displaystyle {f'(x)}={\frac{1\cdot(x^2+4)-x\cdot2x}{(x^2+4)^2}}={\frac{4-x^2}{(x^2+4)^2}}.
  • f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0} כש־x=2\displaystyle {x}={2} או x=−2\displaystyle {x}={-2}; רק x=2\displaystyle {x}={2} בתחום.
  • הערכים: f(2)=28=14\displaystyle {f(2)}={\frac{2}{8}}={\frac{1}{4}}, f(0)=0\displaystyle {f(0)}={0}, f(5)=529\displaystyle {f(5)}={\frac{5}{29}}.
f(x)=xx2+4\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+4}
M=(2,0.25)\displaystyle M=(2,0.25)
A=(0,0)\displaystyle A=(0,0)
E=(5,0.1724)\displaystyle E=(5,0.1724)

בתחום הסגור 0≤x≤5\displaystyle 0\leq x\leq5:

  • הערך הגדול ביותר הוא 14\displaystyle \frac{1}{4}, כש־x=2\displaystyle {x}={2};
  • הערך הקטן ביותר הוא 0, כש־x=0\displaystyle {x}={0} – קיצון בקצה.

בתחום הפתוח x>0\displaystyle x>0:

  • הערך הגדול ביותר הוא עדיין 14\displaystyle \frac{1}{4}: הפונקציה עולה עד x=2\displaystyle {x}={2} ויורדת אחריו;
  • ערך קטן ביותר אין: הפונקציה חיובית, וכש־x\displaystyle x מתקרב ל־0 או גדל בלי סוף היא מתקרבת ל־0 – אבל לא מגיעה אליו.
דוגמה: מחנות הסיירות

שני מחנות אוהלים נמצאים בשטח חולי, בצד אחד של כביש ישר.
מחנה A\displaystyle A נמצא במרחק 2 ק"מ מהכביש, ומחנה B\displaystyle B במרחק 1 ק"מ מהכביש.
C\displaystyle C היא הנקודה על הכביש הקרובה ביותר ל־A\displaystyle A, ו־D\displaystyle D הנקודה הקרובה ביותר ל־B\displaystyle B; CD=1.5\displaystyle {CD}={1.5} ק"מ.
מכונית המדריכים עוצרת בנקודה P\displaystyle P בין C\displaystyle C ל־D\displaystyle D.
התלמידים רצים מ־A\displaystyle A אל המכונית, ומשם אל B\displaystyle B – בקו ישר, בשטח החולי בלבד.
איפה צריכה המכונית לעצור כדי שמסלול הריצה יהיה הקצר ביותר? ואיפה – כדי שיהיה הארוך ביותר? <svg viewBox="-40 -150 230 175" width=“230” height=“175” style=“max-width: 100%; height: auto; direction: ltr” role=“img” aria-label=“כביש ישר ועליו הנקודות C, D ו־P. מחנה A נמצא 2 ק"מ מעל C, ומחנה B נמצא 1 ק"מ מעל D. המסלול עובר מ־A אל P ומשם אל B.">ABCDP21x בפתרון שלפניכם נסמן CP=x\displaystyle {CP}={x}, נבטא את אורך המסלול בעזרת x\displaystyle x ונשווה בין הנקודה שבה הנגזרת מתאפסת לבין קצות התחום.

  • התחום סגור: 0≤x≤1.5\displaystyle 0\leq x\leq1.5.
  • לפי משפט פיתגורס: AP=x2+4\displaystyle {AP}={\sqrt{x^2+4}}, PB=(1.5−x)2+1\displaystyle {PB}={\sqrt{(1.5-x)^2+1}}, ולכן L(x)=x2+4+(1.5−x)2+1\displaystyle {L(x)}={\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(1.5-x)^2+1}}.
  • L′(x)=xx2+4−1.5−x(1.5−x)2+1\displaystyle {L'(x)}={\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}-\frac{1.5-x}{\sqrt{(1.5-x)^2+1}}}.
  • L′(x)=0\displaystyle {L'(x)}={0}: xx2+4=1.5−x(1.5−x)2+1\displaystyle {\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}={\frac{1.5-x}{\sqrt{(1.5-x)^2+1}}}. בתחום שני האגפים אי־שליליים, ולכן מותר להעלות בריבוע: x2[(1.5−x)2+1]=(1.5−x)2(x2+4)\displaystyle {x^2\left[(1.5-x)^2+1\right]}={(1.5-x)^2(x^2+4)}.
  • אחרי פתיחת סוגריים וצמצום נשאר x2=4(1.5−x)2\displaystyle {x^2}={4(1.5-x)^2}, כלומר x=2(1.5−x)\displaystyle {x}={2(1.5-x)}, ו־x=1\displaystyle {x}={1}. (האפשרות x=−2(1.5−x)\displaystyle {x}={-2(1.5-x)} נותנת x=3\displaystyle {x}={3}, מחוץ לתחום.)
  • הערכים: L(1)=5+1.25≈3.354\displaystyle {L(1)}={\sqrt{5}+\sqrt{1.25}\approx3.354}; L(0)=2+3.25≈3.803\displaystyle {L(0)}={2+\sqrt{3.25}\approx3.803}; L(1.5)=6.25+1=3.5\displaystyle {L(1.5)}={\sqrt{6.25}+1}={3.5}.
L(x)=x2+4+(1.5−x)2+1\displaystyle L(x)=\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{(1.5-x)^{2}+1}
x=1.5\displaystyle x=1.5
S=(1,3.354)\displaystyle S=(1,3.354)
C=(0,3.803)\displaystyle C=(0,3.803)
D=(1.5,3.5)\displaystyle D=(1.5,3.5)
  • המסלול הקצר ביותר: המכונית עוצרת 1 ק"מ מ־C\displaystyle C, והמסלול כ־3.35 ק"מ.
  • המסלול הארוך ביותר: המכונית עוצרת ב־C\displaystyle C עצמה, והמסלול כ־3.80 ק"מ – קיצון בקצה התחום. ב־x=1\displaystyle {x}={1} הנגזרת מתאפסת, אבל זו נקודת מינימום; את המקסימום מוצאים רק בהשוואה לקצוות.
תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=x−x4\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}-\frac{x}{4}} בתחום 0≤x≤9\displaystyle 0\leq x\leq9.

א

מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

f(x)=x−x4\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-\frac{x}{4}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

      ג

      חשבו את ערכי הפונקציה בנקודה שמצאתם ובשני קצות התחום – כרטיס לכל ערך.

      בנקודה שמצאתם

      f(x)=x−x4\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-\frac{x}{4}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        f(0)\displaystyle f(0)

        f(x)=x−x4\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-\frac{x}{4}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          f(9)\displaystyle f(9)

          f(x)=x−x4\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-\frac{x}{4}

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ד

            מהו הערך הגדול ביותר של f\displaystyle f בתחום, ומהו הערך הקטן ביותר?
            איזה מהם הוא קיצון בקצה?

            הערך הגדול ביותר

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              הערך הקטן ביותר

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 2

                נתונה הפונקציה f(x)=x2+3x−1\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2+3}{x-1}} בתחום הפתוח x>1\displaystyle x>1.

                א

                מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

                f(x)=x2+3x−1\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+3}{x-1}

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ב

                  פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

                    ג

                    איזה פתרון של המשוואה בתחום?
                    בנו טבלת סימנים של f′\displaystyle f' בתחום, ומצאו את הערך הקטן ביותר של f\displaystyle f.
                    האם יש ל־f\displaystyle f ערך גדול ביותר בתחום? הסבירו לפי מה שהפונקציה עושה ליד x=1\displaystyle {x}={1}.

                    הפתרון שבתחום

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      הערך הקטן ביותר

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        תרגיל 3

                        P\displaystyle P היא נקודה על הגרף של y=4x\displaystyle {y}={\frac{4}{x}}, ו־x>0\displaystyle x>0.
                        מחפשים את הנקודה P\displaystyle P הקרובה ביותר לראשית הצירים.

                        א

                        הראו שהמרחק מ־P\displaystyle P לראשית הצירים הוא d(x)=x2+16x2\displaystyle {d(x)}={\sqrt{x^2+\frac{16}{x^2}}}.
                        הסבירו למה מספיק למצוא את המינימום של הביטוי שמתחת לשורש, x2+16x2\displaystyle x^2+\frac{16}{x^2}, ומצאו את הנגזרת שלו.

                        ב

                        פתרו את המשוואה שמאפסת את הנגזרת (אחרי חילוק ב־2).

                          ג

                          חשבו את המרחק הקצר ביותר.

                          d(x)=x2+16x2\displaystyle d(x)=\sqrt{x^{2}+\frac{16}{x^{2}}}

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            ד

                            כתבו את הנקודה P\displaystyle P הקרובה ביותר לראשית.
                            איזה פתרון של המשוואה פסלתם, ולמה?

                            תרגיל 4

                            שני יישובים, A\displaystyle A ו־B\displaystyle B, נמצאים בצד אחד של כביש ישר.
                            A\displaystyle A נמצא במרחק 3 ק"מ מהכביש, ו־B\displaystyle B במרחק 1 ק"מ.
                            C\displaystyle C ו־D\displaystyle D הן הנקודות על הכביש הקרובות ביותר ל־A\displaystyle A ול־B\displaystyle B; CD=4\displaystyle {CD}={4} ק"מ.
                            בונים תחנת שאיבה בנקודה P\displaystyle P על הכביש, בין C\displaystyle C ל־D\displaystyle D, ומניחים צינור ישר ממנה לכל יישוב.
                            x\displaystyle x – המרחק CP\displaystyle CP, בקילומטרים.

                            א

                            הראו שאורך שני הצינורות יחד הוא L(x)=x2+9+(4−x)2+1\displaystyle {L(x)}={\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(4-x)^2+1}}.
                            מהו התחום של x\displaystyle x?

                            ב

                            L′(x)=xx2+9−4−x(4−x)2+1\displaystyle {L'(x)}={\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}-\frac{4-x}{\sqrt{(4-x)^2+1}}}.
                            פתרו את המשוואה L′(x)=0\displaystyle {L'(x)}={0}.

                              ג

                              חשבו את L\displaystyle L בנקודה שמצאתם ובשני קצות התחום.

                              בנקודה שמצאתם

                              L(x)=x2+9+(4−x)2+1\displaystyle L(x)=\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{(4-x)^{2}+1}

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                L(0)\displaystyle L(0)

                                L(x)=x2+9+(4−x)2+1\displaystyle L(x)=\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{(4-x)^{2}+1}

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  L(4)\displaystyle L(4)

                                  L(x)=x2+9+(4−x)2+1\displaystyle L(x)=\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{(4-x)^{2}+1}

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                    ד

                                    איפה כדאי לבנות את התחנה, ומהו האורך הקטן ביותר של הצינורות?
                                    איפה האורך גדול ביותר?

                                    CP\displaystyle CP של התחנה

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה