דלג לתוכן

בעיות ערך קיצון בגאומטריה ובגופים

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 19 מתוך 26לימוד

בעיות ערך קיצון בגאומטריה ובגופים

בעיה גאומטרית

בבעיה גאומטרית יש בדרך כלל שני גדלים משתנים וקשר אחד ביניהם – רדיוס, נפח או שטח נתונים. לכן הפתרון מתחיל בשרטוט ובקשר:

  • משרטטים, ובוחרים משתנה אחד, x\displaystyle x.
  • מבטאים את הגודל השני בעזרת x\displaystyle x, לפי הקשר הנתון: משפט פיתגורס, נוסחת הנפח, נוסחת השטח.
  • כותבים את הגודל שצריך להגדיל או להקטין כפונקציה של x\displaystyle x בלבד.
  • קובעים את התחום לפי הצורה: אורך חיובי, ונקודה שנשארת על המעגל או על הגיליון.
  • גוזרים, פותרים f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}, וקובעים את סוג הנקודה – בטבלת סימנים, או בהשוואה לקצות תחום סגור.
דוגמה: מלבן בחצי עיגול

מלבן חסום בחצי עיגול שרדיוסו 5: צלע אחת שלו על הקוטר, ושני הקדקודים האחרים על הקשת.
מה השטח הגדול ביותר שיכול להיות למלבן? Ox5 בפתרון שלפניכם נסמן ב־x\displaystyle x את המרחק מהמרכז O\displaystyle O לצלע הצד של המלבן, ונבטא את הגובה לפי משפט פיתגורס.

  • הקדקוד שעל הקשת רחוק 5 מ־O\displaystyle O, ולכן הגובה של המלבן הוא 25−x2\displaystyle \sqrt{25-x^2}, והבסיס 2x\displaystyle 2x.
  • S(x)=2x25−x2\displaystyle {S(x)}={2x\sqrt{25-x^2}}, בתחום 0<x<5\displaystyle 0<x<5.
  • לפי כלל המכפלה: S′(x)=225−x2+2x⋅−2x225−x2=2(25−x2)−2x225−x2=50−4x225−x2\displaystyle {S'(x)}={2\sqrt{25-x^2}+2x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{25-x^2}}}={\frac{2(25-x^2)-2x^2}{\sqrt{25-x^2}}}={\frac{50-4x^2}{\sqrt{25-x^2}}}.
  • S′(x)=0\displaystyle {S'(x)}={0} כש־x2=12.5\displaystyle {x^2}={12.5}, ובתחום x=12.5=52≈3.54\displaystyle {x}={\sqrt{12.5}}={\frac{5}{\sqrt{2}}\approx3.54}.
  • לפני הנקודה המונה חיובי, ואחריה שלילי: מקסימום.
  • הגובה הוא 25−12.5=52\displaystyle {\sqrt{25-12.5}}={\frac{5}{\sqrt{2}}}, והשטח הגדול ביותר הוא S=2⋅52⋅52=25\displaystyle {S}={2\cdot\frac{5}{\sqrt{2}}\cdot\frac{5}{\sqrt{2}}}={25}.

במלבן הגדול ביותר הבסיס כפול מהגובה: הוא מורכב משני ריבועים.

דוגמה: פחית בשטח הקטן ביותר

פחית סגורה בצורת גליל צריכה להכיל 54π\displaystyle 54\pi סמ"ק.
מה צריכים להיות הרדיוס והגובה כדי שהפח שלה – שטח הפנים – יהיה הקטן ביותר?

בפתרון שלפניכם נבטא את הגובה בעזרת הרדיוס r\displaystyle r לפי הנפח, ונקבל פונקציה רציונלית של r\displaystyle r:

  • הנפח: πr2h=54π\displaystyle {\pi r^2h}={54\pi}, ולכן h=54r2\displaystyle {h}={\frac{54}{r^2}}.
  • שטח הפנים: שני בסיסים ומעטפת, S=2πr2+2πrh\displaystyle {S}={2\pi r^2+2\pi rh}. נציב את h\displaystyle h: S(r)=2πr2+108πr\displaystyle {S(r)}={2\pi r^2+\frac{108\pi}{r}}, בתחום r>0\displaystyle r>0.
  • S′(r)=4πr−108πr2=0\displaystyle {S'(r)}={4\pi r-\frac{108\pi}{r^2}}={0}, ולכן r3=27\displaystyle {r^3}={27} ו־r=3\displaystyle {r}={3}.
r\displaystyle r0<r<3\displaystyle 0<r<33\displaystyle 3r>3\displaystyle r>3
S′(r)\displaystyle S'(r)−0+
S(r)\displaystyle S(r)יורדתמינימוםעולה
  • הרדיוס 3 ס"מ, והגובה h=549=6\displaystyle {h}={\frac{54}{9}}={6} ס"מ: הגובה שווה לקוטר.
  • שטח הפנים הקטן ביותר: S(3)=18π+36π=54π\displaystyle {S(3)}={18\pi+36\pi}={54\pi} סמ"ר.
תרגיל 1

מגיליון קרטון ריבועי שצלעו 30 ס"מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו x\displaystyle x ס"מ.
מקפלים את השוליים למעלה ומקבלים תיבה פתוחה.

א

הראו שנפח התיבה הוא V(x)=x(30−2x)2\displaystyle {V(x)}={x(30-2x)^2}.
מהו התחום של x\displaystyle x?

ב

מצאו את V′(x)\displaystyle V'(x).

V(x)=x(30−2x)2\displaystyle V(x)=x(30-2x)^{2}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ג

    פתרו את המשוואה V′(x)=0\displaystyle {V'(x)}={0}.

      ד

      חשבו את הנפח הגדול ביותר.

      V(x)=x(30−2x)2\displaystyle V(x)=x(30-2x)^{2}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ה

        איזה פתרון של המשוואה פסלתם, ולמה?
        הראו שהנקודה שבחרתם היא מקסימום.

        תרגיל 2

        פחית סגורה בצורת גליל מכילה 16π\displaystyle 16\pi סמ"ק.
        r\displaystyle r – הרדיוס של הבסיס, בס"מ.

        א

        הראו ששטח הפנים של הפחית הוא S(r)=2πr2+32πr\displaystyle {S(r)}={2\pi r^2+\frac{32\pi}{r}}.

        ב

        מצאו את S′(r)\displaystyle S'(r).

        S(r)=2πr2+32πr\displaystyle S(r)=2\pi r^{2}+\frac{32\pi}{r}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ג

          פתרו את המשוואה S′(r)=0\displaystyle {S'(r)}={0}.

            ד

            חשבו את שטח הפנים הקטן ביותר.

            S(r)=2πr2+32πr\displaystyle S(r)=2\pi r^{2}+\frac{32\pi}{r}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ה

              מהו הגובה של הפחית הזאת?
              השוו לדוגמה: מה הקשר בין הגובה לרדיוס?

              הגובה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 3

                היתר במשולש ישר זווית הוא 6 ס"מ.
                x\displaystyle x – אורך אחד הניצבים, בס"מ.
                השטח של המשולש הוא S(x)=12x36−x2\displaystyle {S(x)}={\frac{1}{2}x\sqrt{36-x^2}}.

                א

                מצאו את S′(x)\displaystyle S'(x).

                S(x)=12x36−x2\displaystyle S(x)=\frac{1}{2}x\sqrt{36-x^{2}}

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ב

                  פתרו את המשוואה S′(x)=0\displaystyle {S'(x)}={0}.

                    ג

                    חשבו את השטח הגדול ביותר.

                    S(x)=12x36−x2\displaystyle S(x)=\frac{1}{2}x\sqrt{36-x^{2}}

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ד

                      מה אורך הניצב השני במשולש הזה?
                      איזה משולש קיבלתם?

                      תרגיל 4

                      משאית נוסעת 500 ק"מ במהירות קבועה v\displaystyle v קמ"ש.
                      כל שעת נסיעה עולה 400 ₪ (נהג ומשאית), ועוד דלק במחיר v216\displaystyle \frac{v^2}{16} ₪ לשעה.
                      המהירות המותרת: 40≤v≤100\displaystyle 40\leq v\leq100.
                      העלות של הנסיעה כולה היא C(v)=500v(400+v216)=200000v+31.25v\displaystyle {C(v)}={\frac{500}{v}\left(400+\frac{v^2}{16}\right)}={\frac{200000}{v}+31.25v} ₪.

                      א

                      מצאו את C′(v)\displaystyle C'(v).

                      C(v)=200000v+31.25v\displaystyle C(v)=\frac{200000}{v}+31.25v

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        ב

                        פתרו את המשוואה C′(v)=0\displaystyle {C'(v)}={0}.

                          ג

                          חשבו את העלות בנקודה שמצאתם ובשני קצות התחום.

                          בנקודה שמצאתם

                          C(v)=200000v+31.25v\displaystyle C(v)=\frac{200000}{v}+31.25v

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            C(40)\displaystyle C(40)

                            C(v)=200000v+31.25v\displaystyle C(v)=\frac{200000}{v}+31.25v

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              C(100)\displaystyle C(100)

                              C(v)=200000v+31.25v\displaystyle C(v)=\frac{200000}{v}+31.25v

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                ד

                                באיזו מהירות הנסיעה הכי זולה, ומה העלות?
                                אם המהירות המותרת הייתה לכל היותר 70 קמ"ש – באיזו מהירות הייתה הנסיעה הכי זולה? הסבירו.

                                המהירות הזולה ביותר

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  המחיר

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                    עד 70 קמ"ש

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה