הגרפים של f, f′ ו־f″

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 6 מתוך 26לימוד

הגרפים של f, f′ ו־f″

מה כל גרף מספר

כל נגזרת מתארת את קצב השינוי של הפונקציה שלפניה, ולכן אותם קשרים שבין $\displaystyle f$ ל־ $\displaystyle f'$ קיימים גם בין $\displaystyle f'$ ל־ $\displaystyle f''$ :

גרף	מה רואים בו	מה זה אומר על $\displaystyle f$
$\displaystyle f'$	מעל ציר ה־ $\displaystyle x$ / מתחתיו	$\displaystyle f$ עולה / יורדת
$\displaystyle f'$	חוצה את ציר ה־ $\displaystyle x$	נקודת קיצון של $\displaystyle f$
$\displaystyle f'$	עולה / יורד	$\displaystyle f$ קעורה כלפי מעלה / כלפי מטה
$\displaystyle f'$	נקודת קיצון	נקודת פיתול של $\displaystyle f$
$\displaystyle f''$	מעל ציר ה־ $\displaystyle x$ / מתחתיו	$\displaystyle f$ קעורה כלפי מעלה / כלפי מטה
$\displaystyle f''$	חוצה את ציר ה־ $\displaystyle x$	נקודת פיתול של $\displaystyle f$

נקודת קיצון של $\displaystyle f'$ היא נקודת פיתול של $\displaystyle f$ : שם השיפוע של $\displaystyle f$ מפסיק לגדול ומתחיל לקטון, או להפך.

דוגמה:

\displaystyle x^3-3x

ושתי הנגזרות

בלוח שלפניכם שלושה גרפים: $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x}$ , הנגזרת $\displaystyle {f'(x)}={3x^2-3}$ והנגזרת השנייה $\displaystyle {f''(x)}={6x}$ .

\displaystyle f(x)=x^{3}-3x

\displaystyle y=3x^{2}-3

\displaystyle y=6x

$\displaystyle f'$ חוצה את ציר ה־ $\displaystyle x$ ב־ $\displaystyle {x}={-1}$ וב־ $\displaystyle {x}={1}$ – שם נקודות הקיצון של $\displaystyle f$ .
ל־ $\displaystyle f'$ יש מינימום ב־ $\displaystyle {x}={0}$ , ושם $\displaystyle f''$ חוצה את ציר ה־ $\displaystyle x$ – נקודת הפיתול של $\displaystyle f$ , $\displaystyle (0,0)$ .
$\displaystyle f''<0$ כש־ $\displaystyle x<0$ : שם $\displaystyle f'$ יורדת ו־ $\displaystyle f$ קעורה כלפי מטה. $\displaystyle f''>0$ כש־ $\displaystyle x>0$ : $\displaystyle f'$ עולה ו־ $\displaystyle f$ קעורה כלפי מעלה.

איזה גרף הוא איזה

כשנתונים שלושה גרפים – של פונקציה, של הנגזרת שלה ושל הנגזרת השנייה – מזהים אותם לפי השאלה איזה גרף מתאר את קצב השינוי של איזה:

גרף $\displaystyle g$ הוא הנגזרת של גרף $\displaystyle h$ אם $\displaystyle g$ חוצה את ציר ה־ $\displaystyle x$ בדיוק במקומות שבהם ל־ $\displaystyle h$ יש קיצון, $\displaystyle g$ מעל הציר איפה ש־ $\displaystyle h$ עולה ומתחתיו איפה ש־ $\displaystyle h$ יורדת.
בודקים כל זוג. הפונקציה היא הגרף שאינו נגזרת של אף אחד מהאחרים; הנגזרת השנייה היא הגרף שאף אחד אינו נגזרת שלו.
בפולינום, כל נגזרת מורידה את המעלה ב־1: אם אחד הגרפים הוא פרבולה ואחר ישר, הישר הוא הנגזרת של הפרבולה.

כדי להראות שאין סידור אחר, מספיק למצוא לכל סידור אחר מקום שבו הקשר לא מתקיים – למשל, גרף שעולה במקום שבו ה"נגזרת" שלו מתחת לציר.

תרגיל 1

בלוחות הגרף של $\displaystyle {f(x)}={x^3-6x^2+9x}$ .

כתבו בלוח את הנגזרת $\displaystyle f'(x)$ . הגרף שלה יופיע ליד הגרף של $\displaystyle f$ .

\displaystyle f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x

כתבו בלוח את הנגזרת השנייה $\displaystyle f''(x)$ .

\displaystyle f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x

איפה $\displaystyle f'$ חוצה את ציר ה־ $\displaystyle x$ , ומה יש שם ל־ $\displaystyle f$ ?
איפה $\displaystyle f''$ חוצה את ציר ה־ $\displaystyle x$ , ומה יש שם ל־ $\displaystyle f$ ?

תרגיל 2

בלוח הגרף של הנגזרת $\displaystyle {f'(x)}={x^2-4x+3}$ של פונקציה $\displaystyle f$ .
הגרף של $\displaystyle f$ עצמה לא נתון.

סמנו על הגרף את הנקודות שבהן הוא חוצה את ציר ה־ $\displaystyle x$ , ואת נקודת הקיצון שלו.

\displaystyle y=x^{2}-4x+3

ב־ $\displaystyle {x}={1}$ וב־ $\displaystyle {x}={3}$ יש ל־ $\displaystyle f$ נקודות קיצון: מה הסוג של כל אחת?
איפה $\displaystyle f$ קעורה כלפי מעלה, ואיפה כלפי מטה?
מה שיעור ה־ $\displaystyle x$ של נקודת הפיתול של $\displaystyle f$ ?

שיעור ה־

\displaystyle x

של נקודת הפיתול

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 3

הפונקציה $\displaystyle f$ גזירה פעמיים לכל $\displaystyle x$ .
יש לה שתי נקודות קיצון בלבד: מינימום כש־ $\displaystyle {x}={3}$ , ומקסימום כש־ $\displaystyle {x}={5}$ .

מה הסימן של $\displaystyle f'$ כש־ $\displaystyle x<3$ , כש־ $\displaystyle 3<x<5$ וכש־ $\displaystyle x>5$ ?

נגזרת אפשרית היא $\displaystyle {f'(x)}={-(x-3)(x-5)}$ .
פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f'(x)>0$ , ובדקו שהתשובה מתאימה לסעיף הקודם.

בלוח הגרף של $\displaystyle {f'(x)}={-(x-3)(x-5)}$ .
סמנו את נקודת הקיצון שלו.

\displaystyle y=-(x-3)(x-5)

מה יש ל־ $\displaystyle f$ בנקודה שסימנתם?
הסבירו למה לכל פונקציה כמו $\displaystyle f$ – מינימום ב־3, מקסימום ב־5 – יש נקודת פיתול בין 3 ל־5.

תרגיל 4

בלוח שלושה גרפים: $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x^2}$ ושני גרפים שהנוסחאות שלהם מוסתרות.
אחד מהם הוא הגרף של $\displaystyle f'$ , והשני – של $\displaystyle f''$ .

כתבו בלוח את הנוסחה של כל אחד מהגרפים המוסתרים.

\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}

\displaystyle y=\,?

\displaystyle y=\,?

איך מזהים בגרפים עצמם, בלי נוסחאות, איזה מהם הוא $\displaystyle f'$ ואיזה $\displaystyle f''$ ?

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

כללי גזירה ומשוואת המשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$

הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת
$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(f'(x)\right)'$
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ( $\displaystyle \cup$ )
$\displaystyle f''(x)>0$
הפונקציה קעורה כלפי מטה ( $\displaystyle \cap$ )
$\displaystyle f''(x)<0$
נקודה חשודה כנקודת פיתול – בודקים שהסימן של $\displaystyle f''$ מתחלף בה
$\displaystyle f''(x_0)=0$
נקודת מינימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0$
נקודת מקסימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0$
התאוצה – הנגזרת של המהירות
$\displaystyle a(t)=v'(t)=s''(t)$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle f(x)$ גדל או קטן בלי סוף כש־ $\displaystyle x$ מתקרב ל־ $\displaystyle a$
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle f(x)$ מתקרב ל־ $\displaystyle b$ כש־ $\displaystyle x\to\infty$ או כש־ $\displaystyle x\to-\infty$
$\displaystyle y=b$

שורשים

שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

רדיאנים ומחזוריות

חצי סיבוב ברדיאנים
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים במעגל שרדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
המחזור של $\displaystyle \sin x$ ושל $\displaystyle \cos x$ הוא $\displaystyle 2\pi$
$\displaystyle \sin(x+2\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x$
המחזור של $\displaystyle \tan x$ הוא $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \tan(x+\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan x$
הגבול שממנו נגזרת הנגזרת של $\displaystyle \sin x$ ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

זהויות טריגונומטריות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
סינוס – פונקציה אי־זוגית
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
קוסינוס – פונקציה זוגית
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
סינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
קוסינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
קוסינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
הפרש סינוסים
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
סינוס של סכום ושל הפרש זוויות
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

נגזרת של סינוס ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle (\sin x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x$
נגזרת של קוסינוס
$\displaystyle (\cos x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin x$
נגזרת של טנגנס
$\displaystyle (\tan x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}$