נקודות פיתול

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 4 מתוך 26לימוד

נקודות פיתול

נקודת פיתול

נקודת פיתול היא נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה שבה הפונקציה מחליפה את סוג הקעירות – מכלפי מעלה לכלפי מטה, או להפך.

הסימן של $\displaystyle f''$ קובע את הקעירות, ולכן מחפשים נקודות פיתול כך:

נקודות חשודות כנקודות פיתול: נקודות שבהן $\displaystyle {f''(x)}={0}$ , ונקודות של תחום ההגדרה שבהן $\displaystyle f''$ לא מוגדרת.
בדיקה: בונים טבלת סימנים של $\displaystyle f''$ . נקודה חשודה היא נקודת פיתול רק אם הסימן של $\displaystyle f''$ מתחלף בה.
נקודת פיתול היא נקודה על הגרף: מחשבים גם את $\displaystyle f(x)$ בה.

דוגמה:

\displaystyle x^3-3x^2+2

בדוגמה שלפניכם נמצא את נקודת הפיתול של $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x^2+2}$ :

$\displaystyle {f'(x)}={3x^2-6x}$ , $\displaystyle {f''(x)}={6x-6}$ .
$\displaystyle {f''(x)}={0}$ כש־ $\displaystyle {x}={1}$ : נקודה חשודה.
$\displaystyle f''(x)<0$ כש־ $\displaystyle x<1$ ו־ $\displaystyle f''(x)>0$ כש־ $\displaystyle x>1$ : הסימן מתחלף, ולכן יש פיתול.
$\displaystyle {f(1)}={1-3+2}={0}$ : נקודת הפיתול היא $\displaystyle (1,0)$ .

בלוח מסומן גם המשיק בנקודת הפיתול: $\displaystyle {f'(1)}={-3}$ , והמשיק הוא $\displaystyle {y}={-3x+3}$ .

\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}+2

\displaystyle y=-3x+3

\displaystyle P=(1,0)

משמאל לנקודת הפיתול המשיק מעל הגרף (הגרף קעור כלפי מטה), ומימין לה הוא מתחת לגרף (הגרף קעור כלפי מעלה).
לכן בנקודת פיתול המשיק חוצה את הגרף.

פיתול אופקי, משופע ואנכי

בלוח שלפניכם שלוש פונקציות שלכל אחת נקודת פיתול בראשית הצירים, וכל אחת עם משיק מסוג אחר:

\displaystyle f(x)=x^{3}

\displaystyle g(x)=x^{3}-3x

\displaystyle h(x)=\sqrt[3]{x}

$\displaystyle {f(x)}={x^3}$ : $\displaystyle {f'(0)}={0}$ , המשיק אופקי – פיתול אופקי.
$\displaystyle {g(x)}={x^3-3x}$ : $\displaystyle {g'(0)}={-3}$ , המשיק משופע – פיתול משופע. זה המקרה הרגיל: ברוב נקודות הפיתול הנגזרת הראשונה לא מתאפסת.
$\displaystyle {h(x)}={\sqrt[3]{x}}$ : המשיק בראשית הצירים אנכי, ו־ $\displaystyle h'$ ו־ $\displaystyle h''$ לא מוגדרות שם – פיתול אנכי. זו נקודה חשודה מהסוג השני: $\displaystyle h''$ לא מוגדרת בה.

פיתול אופקי מתגלה כבר בחיפוש נקודות קיצון, כי בו $\displaystyle {f'(x)}={0}$ . פיתול משופע מוצאים רק בעזרת $\displaystyle f''$ .

\displaystyle {f''}={0}

בלי פיתול

נקודה שבה $\displaystyle {f''(x)}={0}$ אינה בהכרח נקודת פיתול. למשל, $\displaystyle {f(x)}={x^4}$ :

$\displaystyle {f''(x)}={12x^2}$ , ולכן $\displaystyle {f''(0)}={0}$ .
אבל $\displaystyle f''(x)>0$ משני הצדדים של 0: הסימן לא מתחלף.
הפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל מקום, ו־ $\displaystyle (0,0)$ היא נקודת מינימום, לא נקודת פיתול.

פיתול בפונקציה ממעלה שלישית

לכל פונקציה ממעלה שלישית יש בדיוק נקודת פיתול אחת. ההוכחה שלפניכם מחשבת את $\displaystyle f''$ ומראה שהסימן שלה מתחלף פעם אחת בדיוק.

$\displaystyle {f(x)}={ax^3+bx^2+cx+d}$ , ו־ $\displaystyle a\neq0$ .
$\displaystyle {f'(x)}={3ax^2+2bx+c}$ , $\displaystyle {f''(x)}={6ax+2b}$ .
$\displaystyle f''$ היא פונקציה קווית ששיפועה $\displaystyle 6a\neq0$ : היא מתאפסת בנקודה אחת, $\displaystyle {x}={-\frac{b}{3a}}$ , והסימן שלה מתחלף שם.
לכן $\displaystyle {x}={-\frac{b}{3a}}$ הוא שיעור ה־ $\displaystyle x$ של נקודת הפיתול היחידה.

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3-6x^2+9x+1}$ .

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f''(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודת הפיתול.

\displaystyle f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^4-4x^3}$ .

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{4}-4x^{3}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f''(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודות הפיתול.

\displaystyle f(x)=x^{4}-4x^{3}

$\displaystyle {f'(x)}={4x^3-12x^2}$ .
באיזו מנקודות הפיתול המשיק אופקי, ובאיזו הוא משופע?

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^4+6x^2}$ .

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{4}+6x^{2}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f''(x)}={0}$ .

האם יש ל־ $\displaystyle f$ נקודות פיתול?
מה הקעירות של $\displaystyle f$ ?

תרגיל 4

נתונה משפחת הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={x^3-ax^2+3x}$ , ו־ $\displaystyle a$ פרמטר.

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ , בעזרת $\displaystyle a$ .
הסבירו למה לכל פונקציה במשפחה יש נקודת פיתול אחת, ב־ $\displaystyle {x}={\frac{a}{3}}$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}-ax^{2}+3x$

לאיזה ערך של $\displaystyle a$ נקודת הפיתול היא ב־ $\displaystyle {x}={1}$ ?

עבור ה־ $\displaystyle a$ שמצאתם, $\displaystyle {f'(x)}={3x^2-6x+3}={3(x-1)^2}$ .
איזה סוג של פיתול יש ב־ $\displaystyle {x}={1}$ : אופקי, משופע או אנכי?
האם יש לפונקציה נקודות קיצון?

תרגיל 5

כתבו פונקציה שיש לה נקודת פיתול שבה הנגזרת הראשונה חיובית.
הראו שהנקודה שבחרתם היא נקודת פיתול, וחשבו את הנגזרת בה.

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

כללי גזירה ומשוואת המשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$

הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת
$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(f'(x)\right)'$
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ( $\displaystyle \cup$ )
$\displaystyle f''(x)>0$
הפונקציה קעורה כלפי מטה ( $\displaystyle \cap$ )
$\displaystyle f''(x)<0$
נקודה חשודה כנקודת פיתול – בודקים שהסימן של $\displaystyle f''$ מתחלף בה
$\displaystyle f''(x_0)=0$
נקודת מינימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0$
נקודת מקסימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0$
התאוצה – הנגזרת של המהירות
$\displaystyle a(t)=v'(t)=s''(t)$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle f(x)$ גדל או קטן בלי סוף כש־ $\displaystyle x$ מתקרב ל־ $\displaystyle a$
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle f(x)$ מתקרב ל־ $\displaystyle b$ כש־ $\displaystyle x\to\infty$ או כש־ $\displaystyle x\to-\infty$
$\displaystyle y=b$

שורשים

שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

רדיאנים ומחזוריות

חצי סיבוב ברדיאנים
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים במעגל שרדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
המחזור של $\displaystyle \sin x$ ושל $\displaystyle \cos x$ הוא $\displaystyle 2\pi$
$\displaystyle \sin(x+2\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x$
המחזור של $\displaystyle \tan x$ הוא $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \tan(x+\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan x$
הגבול שממנו נגזרת הנגזרת של $\displaystyle \sin x$ ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

זהויות טריגונומטריות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
סינוס – פונקציה אי־זוגית
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
קוסינוס – פונקציה זוגית
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
סינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
קוסינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
קוסינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
הפרש סינוסים
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
סינוס של סכום ושל הפרש זוויות
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

נגזרת של סינוס ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle (\sin x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x$
נגזרת של קוסינוס
$\displaystyle (\cos x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin x$
נגזרת של טנגנס
$\displaystyle (\tan x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}$