חקירה מלאה של פונקציה רציונלית

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 10 מתוך 26לימוד

חקירה מלאה של פונקציה רציונלית

שלבי החקירה המלאה

חקירה מלאה של פונקציה רציונלית כוללת את השלבים של כיתה י’, ומוסיפה להם את הנגזרת השנייה:

תחום ההגדרה, אסימפטוטות וחורים, זוגיות, חיתוך עם הצירים;
הנגזרת הראשונה: טבלת סימנים של $\displaystyle f'$ – תחומי העלייה והירידה ונקודות הקיצון;
הנגזרת השנייה: טבלת סימנים של $\displaystyle f''$ – תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה;
נקודות פיתול: נקודות בתחום ההגדרה שבהן הסימן של $\displaystyle f''$ מתחלף;
סקיצה: קודם האסימפטוטות, אחר כך הנקודות, ואז הצורה של כל קטע לפי הקעירות שלו.

בשתי הטבלאות הסימן יכול להתחלף גם בנקודה שבה $\displaystyle f$ לא מוגדרת, ולכן גם הנקודות האלה נכנסות לטבלאות.

דוגמה:

\displaystyle \frac{x}{x^2+1}

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{x^2+1}}$ חקירה מלאה.

תחום ההגדרה: כל $\displaystyle x$ , כי $\displaystyle x^2+1>0$ ; אין אסימפטוטה אנכית.
מעלת המונה קטנה יותר: אסימפטוטה אופקית $\displaystyle {y}={0}$ .
$\displaystyle {f(-x)}={\frac{-x}{x^2+1}}={-f(x)}$ : הפונקציה אי־זוגית, והגרף סימטרי לראשית הצירים.
חיתוך עם הצירים: רק $\displaystyle (0,0)$ .

הנגזרת הראשונה:

f'(x)=\frac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}

$\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש־ $\displaystyle {x}={\pm1}$ ; $\displaystyle f$ יורדת כש־ $\displaystyle x<-1$ וכש־ $\displaystyle x>1$ , ועולה כש־ $\displaystyle -1<x<1$ .
$\displaystyle \left(-1,-\frac{1}{2}\right)$ – נקודת מינימום; $\displaystyle \left(1,\frac{1}{2}\right)$ – נקודת מקסימום.

הנגזרת השנייה – שוב לפי הכלל של נגזרת מנה, ואחרי הוצאת הגורם המשותף $\displaystyle x^2+1$ :

f''(x)=\frac{-2x(x^2+1)^2-(1-x^2)\cdot2(x^2+1)\cdot2x}{(x^2+1)^4}=\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}

המכנה חיובי, ולכן הסימן של $\displaystyle f''$ הוא הסימן של $\displaystyle 2x(x^2-3)$ , שמתאפס כש־ $\displaystyle {x}={0}$ וכש־ $\displaystyle {x}={\pm\sqrt{3}}$ :

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<-\sqrt{3}$	$\displaystyle -\sqrt{3}<x<0$	$\displaystyle 0<x<\sqrt{3}$	$\displaystyle x>\sqrt{3}$
$\displaystyle f''(x)$	−	+	−	+
$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle \cap$	$\displaystyle \cup$	$\displaystyle \cap$	$\displaystyle \cup$

\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}

\displaystyle A=(-1.732,-0.433)

\displaystyle O=(0,0)

\displaystyle B=(1.732,0.433)

שלוש נקודות פיתול: $\displaystyle \left(-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$ , $\displaystyle (0,0)$ ו־ $\displaystyle \left(\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$ .
רחוק מימין הגרף קעור כלפי מעלה בזמן שהוא מתקרב ל־ $\displaystyle {y}={0}$ מלמעלה: הוא יורד לאט יותר ויותר.

דוגמה: קעירות מעבר לאסימפטוטה

הקעירות של פונקציה רציונלית יכולה להתחלף מעבר לאסימפטוטה אנכית, אבל אין שם נקודת פיתול: נקודת פיתול היא נקודה של הגרף. בדוגמה שלפניכם נראה זאת בפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{x^2-1}}$ .

תחום ההגדרה: $\displaystyle x\neq\pm1$ ; אסימפטוטות אנכיות $\displaystyle {x}={-1}$ , $\displaystyle {x}={1}$ , ואסימפטוטה אופקית $\displaystyle {y}={0}$ .
הפונקציה זוגית.
$\displaystyle {f'(x)}={\frac{-2x}{(x^2-1)^2}}$ : עולה כש־ $\displaystyle x<0$ (חוץ מ־ $\displaystyle {x}={-1}$ ), יורדת כש־ $\displaystyle x>0$ (חוץ מ־ $\displaystyle {x}={1}$ ); $\displaystyle (0,-1)$ – נקודת מקסימום.
$\displaystyle {f''(x)}={\frac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}}$ : המונה תמיד חיובי, ולכן הסימן של $\displaystyle f''$ הוא הסימן של $\displaystyle (x^2-1)^3$ , כלומר של $\displaystyle x^2-1$ .

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<-1$	$\displaystyle -1<x<1$	$\displaystyle x>1$
$\displaystyle f''(x)$	+	−	+
$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle \cup$	$\displaystyle \cap$	$\displaystyle \cup$

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}

\displaystyle x=-1

\displaystyle x=1

\displaystyle (0,-1)

הקעירות מתחלפת ב־ $\displaystyle {x}={\pm1}$ , אבל $\displaystyle f$ לא מוגדרת שם: אין נקודות פיתול.

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{x^2+3}}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+3}$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+3}$

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f''(x)>0$ .

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודות הפיתול.

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+3}

כתבו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה ואת השיעורים של נקודות הפיתול.

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2+3}{x-1}}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+3}{x-1}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+3}{x-1}$

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f''(x)>0$ .

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.

\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+3}{x-1}

\displaystyle x=1

כתבו את הסוג של כל נקודת קיצון ואת תחומי הקעירות.
הסבירו למה אין ל־ $\displaystyle f$ נקודת פיתול, אף שהקעירות שלה מתחלפת.

תרגיל 3

בזמן $\displaystyle {t}={0}$ נטמנה פסולת אורגנית באגם.
שיעור החמצן באגם $\displaystyle t$ שבועות אחר כך הוא $\displaystyle {p(t)}={\frac{t^2-t+1}{t^2+1}}$ , עבור $\displaystyle t\geq0$ .
$\displaystyle {p(t)}={1}$ היא הרמה הנורמלית.

מצאו את $\displaystyle p'(t)$ .

$\displaystyle p(t)=\frac{t^{2}-t+1}{t^{2}+1}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {p'(t)}={0}$ .

מתי שיעור החמצן הנמוך ביותר? חשבו את השיעור הנמוך ביותר.

$\displaystyle p(t)=\frac{t^{2}-t+1}{t^{2}+1}$

החמצן גדל בקצב המהיר ביותר כש־ $\displaystyle p'$ הכי גדולה, כלומר כש־ $\displaystyle {p''(t)}={0}$ והסימן שלה מתחלף מ־+ ל־−.
מצאו את $\displaystyle p''(t)$ .

$\displaystyle p(t)=\frac{t^{2}-t+1}{t^{2}+1}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {p''(t)}={0}$ .

אחרי כמה שבועות החמצן גדל בקצב המהיר ביותר? הסבירו אילו פתרונות מתאימים לסיפור.

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

כללי גזירה ומשוואת המשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$

הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת
$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(f'(x)\right)'$
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ( $\displaystyle \cup$ )
$\displaystyle f''(x)>0$
הפונקציה קעורה כלפי מטה ( $\displaystyle \cap$ )
$\displaystyle f''(x)<0$
נקודה חשודה כנקודת פיתול – בודקים שהסימן של $\displaystyle f''$ מתחלף בה
$\displaystyle f''(x_0)=0$
נקודת מינימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0$
נקודת מקסימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0$
התאוצה – הנגזרת של המהירות
$\displaystyle a(t)=v'(t)=s''(t)$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle f(x)$ גדל או קטן בלי סוף כש־ $\displaystyle x$ מתקרב ל־ $\displaystyle a$
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle f(x)$ מתקרב ל־ $\displaystyle b$ כש־ $\displaystyle x\to\infty$ או כש־ $\displaystyle x\to-\infty$
$\displaystyle y=b$

שורשים

שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

רדיאנים ומחזוריות

חצי סיבוב ברדיאנים
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים במעגל שרדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
המחזור של $\displaystyle \sin x$ ושל $\displaystyle \cos x$ הוא $\displaystyle 2\pi$
$\displaystyle \sin(x+2\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x$
המחזור של $\displaystyle \tan x$ הוא $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \tan(x+\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan x$
הגבול שממנו נגזרת הנגזרת של $\displaystyle \sin x$ ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

זהויות טריגונומטריות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
סינוס – פונקציה אי־זוגית
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
קוסינוס – פונקציה זוגית
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
סינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
קוסינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
קוסינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
הפרש סינוסים
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
סינוס של סכום ושל הפרש זוויות
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

נגזרת של סינוס ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle (\sin x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x$
נגזרת של קוסינוס
$\displaystyle (\cos x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin x$
נגזרת של טנגנס
$\displaystyle (\tan x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}$