חקירה של פונקציות עם שורשים

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 15 מתוך 26לימוד

חקירה של פונקציות עם שורשים

השלבים כשיש שורש

חוקרים פונקציה עם שורש באותם שלבים כמו פונקציה רציונלית, ושמים לב לשלושה דברים:

תחום ההגדרה בא ראשון, וכל טבלת סימנים מתחילה ונגמרת בקצוות שלו;
קצה של תחום ההגדרה הוא נקודת קיצון – קיצון בקצה – לפי מה שהפונקציה עושה לידו;
האסימפטוטות יכולות להיות שונות ב־ $\displaystyle \infty$ וב־ $\displaystyle -\infty$ , בגלל $\displaystyle {\sqrt{x^2}}={|x|}$ .

דוגמה:

\displaystyle x\sqrt{4-x^2}

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={x\sqrt{4-x^2}}$ חקירה מלאה.

תחום ההגדרה: $\displaystyle 4-x^2\geq0$ , כלומר $\displaystyle -2\leq x\leq2$ .
$\displaystyle {f(-x)}={-x\sqrt{4-x^2}}={-f(x)}$ : הפונקציה אי־זוגית.
נקודות האפס: $\displaystyle {x}={0}$ ו־ $\displaystyle {x}={\pm2}$ .
$\displaystyle {f'(x)}={\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}}$ (שיעור 14): מתאפסת כש־ $\displaystyle {x}={\pm\sqrt{2}}$ .

$\displaystyle x$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle -2<x<-\sqrt{2}$	$\displaystyle -\sqrt{2}$	$\displaystyle -\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$	$\displaystyle \sqrt{2}$	$\displaystyle \sqrt{2}<x<2$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle f'(x)$		−	0	+	0	−
$\displaystyle f(x)$	מקסימום בקצה	יורדת	מינימום	עולה	מקסימום	יורדת	מינימום בקצה

הנגזרת השנייה, לפי הכלל של נגזרת מנה על $\displaystyle f'$ :

f''(x)=\frac{x(2x^2-12)}{(4-x^2)\sqrt{4-x^2}}

בתחום ההגדרה $\displaystyle 2x^2-12<0$ והמכנה חיובי, ולכן הסימן של $\displaystyle f''$ הוא הסימן של $\displaystyle -x$ .
$\displaystyle f$ קעורה כלפי מעלה כש־ $\displaystyle -2<x<0$ , וכלפי מטה כש־ $\displaystyle 0<x<2$ : $\displaystyle (0,0)$ היא נקודת פיתול.
$\displaystyle {f'(0)}={2}$ : המשיק בנקודת הפיתול משופע, לא אופקי.

\displaystyle f(x)=x\sqrt{4-x^{2}}

\displaystyle A=(1.414,2)

\displaystyle B=(-1.414,-2)

\displaystyle (0,0)

$\displaystyle (\sqrt{2},2)$ – נקודת מקסימום, $\displaystyle (-\sqrt{2},-2)$ – נקודת מינימום.
$\displaystyle (-2,0)$ – מקסימום בקצה, $\displaystyle (2,0)$ – מינימום בקצה.

דוגמה:

\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$ , שאת האסימפטוטות שלה, $\displaystyle {y}={1}$ ו־ $\displaystyle {y}={-1}$ , מצאתם בשיעור 13.

תחום ההגדרה: כל $\displaystyle x$ ; הפונקציה אי־זוגית.
$\displaystyle {f'(x)}={\frac{\sqrt{x^2+1}-x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}}={\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}>0}$ : $\displaystyle f$ עולה בכל התחום, ואין לה נקודות קיצון.
$\displaystyle {f''(x)}={\frac{-3x}{(x^2+1)^2\sqrt{x^2+1}}}$ : חיובית כש־ $\displaystyle x<0$ , ושלילית כש־ $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle (0,0)$ היא נקודת פיתול: שם הגרף עולה בתלילות הרבה ביותר, בשיפוע $\displaystyle {f'(0)}={1}$ .

\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}

\displaystyle y=1

\displaystyle y=-1

\displaystyle (0,0)

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}-\frac{x}{4}}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-\frac{x}{4}$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-\frac{x}{4}$

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון שבתוך התחום ואת נקודות האפס.

\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-\frac{x}{4}

כתבו את כל נקודות הקיצון של $\displaystyle f$ ואת הסוג שלהן, גם בקצה.
איפה $\displaystyle f$ קעורה כלפי מעלה, ואיפה כלפי מטה? האם יש לה נקודת פיתול?

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={(x-2)\sqrt{x+1}}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ , במכנה אחד.

$\displaystyle f(x)=(x-2)\sqrt{x+1}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=(x-2)\sqrt{x+1}$

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f''(x)>0$ .

סמנו על הגרף את נקודות האפס ואת נקודת הקיצון שבתוך התחום.

\displaystyle f(x)=(x-2)\sqrt{x+1}

כתבו את כל נקודות הקיצון ואת הסוג שלהן, ואת הקעירות של $\displaystyle f$ .

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{\sqrt{x}}{x+1}}$ .
הנגזרת שלה היא $\displaystyle {f'(x)}={\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}}$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

חשבו את ערך הפונקציה בנקודה שמצאתם.

$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$

סמנו את נקודת הקיצון שבתוך התחום.

\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}

כתבו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטה ואת כל נקודות הקיצון ואת הסוג שלהן.
מהו המשיק בנקודה $\displaystyle (0,0)$ ?

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

כללי גזירה ומשוואת המשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$

הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת
$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(f'(x)\right)'$
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ( $\displaystyle \cup$ )
$\displaystyle f''(x)>0$
הפונקציה קעורה כלפי מטה ( $\displaystyle \cap$ )
$\displaystyle f''(x)<0$
נקודה חשודה כנקודת פיתול – בודקים שהסימן של $\displaystyle f''$ מתחלף בה
$\displaystyle f''(x_0)=0$
נקודת מינימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0$
נקודת מקסימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0$
התאוצה – הנגזרת של המהירות
$\displaystyle a(t)=v'(t)=s''(t)$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle f(x)$ גדל או קטן בלי סוף כש־ $\displaystyle x$ מתקרב ל־ $\displaystyle a$
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle f(x)$ מתקרב ל־ $\displaystyle b$ כש־ $\displaystyle x\to\infty$ או כש־ $\displaystyle x\to-\infty$
$\displaystyle y=b$

שורשים

שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

רדיאנים ומחזוריות

חצי סיבוב ברדיאנים
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים במעגל שרדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
המחזור של $\displaystyle \sin x$ ושל $\displaystyle \cos x$ הוא $\displaystyle 2\pi$
$\displaystyle \sin(x+2\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x$
המחזור של $\displaystyle \tan x$ הוא $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \tan(x+\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan x$
הגבול שממנו נגזרת הנגזרת של $\displaystyle \sin x$ ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

זהויות טריגונומטריות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
סינוס – פונקציה אי־זוגית
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
קוסינוס – פונקציה זוגית
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
סינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
קוסינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
קוסינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
הפרש סינוסים
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
סינוס של סכום ושל הפרש זוויות
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

נגזרת של סינוס ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle (\sin x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x$
נגזרת של קוסינוס
$\displaystyle (\cos x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin x$
נגזרת של טנגנס
$\displaystyle (\tan x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}$