חקירה של פונקציות טריגונומטריות

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 23 מתוך 26לימוד

חקירה של פונקציות טריגונומטריות

שלבי החקירה

חקירה של פונקציה טריגונומטרית עוברת באותם שלבים כמו כל חקירה, ומתחילה בשאלה אם הפונקציה מחזורית:

מחזור: אם $\displaystyle f$ מחזורית, חוקרים אותה בתחום של מחזור אחד, למשל $\displaystyle 0\leq x\leq2\pi$ , ומשכפלים את הגרף. אם לא – בתחום שנתון בשאלה.
תחום הגדרה: $\displaystyle \tan x$ , מכנה ושורש מוציאים נקודות או קטעים.
נגזרת: פותרים $\displaystyle {f'(x)}={0}$ בתחום – משוואה טריגונומטרית, שהפתרונות שלה בתחום הם מספר סופי של נקודות.
טבלת סימנים של $\displaystyle f'$ : נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה.
נגזרת שנייה: הסימן של $\displaystyle f''$ נותן את תחומי הקעירות, ונקודה שבה הוא מתחלף היא נקודת פיתול.
סקיצה: הנקודות שמצאתם, ואחר כך שכפול לפי המחזור.

דוגמה:

\displaystyle x+2\sin x

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={x+2\sin x}$ בתחום $\displaystyle 0\leq x\leq2\pi$ . הפונקציה לא מחזורית, בגלל המחובר $\displaystyle x$ .

$\displaystyle {f'(x)}={1+2\cos x}$ . $\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש־ $\displaystyle {\cos x}={-\frac{1}{2}}$ , ובתחום: $\displaystyle {x}={\frac{2\pi}{3}}$ או $\displaystyle {x}={\frac{4\pi}{3}}$ .

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0<x<\frac{2\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{4\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{4\pi}{3}<x<2\pi$
$\displaystyle f'(x)$	+	0	−	0	+
$\displaystyle f(x)$	עולה	מקסימום	יורדת	מינימום	עולה

$\displaystyle {f\left(\frac{2\pi}{3}\right)}={\frac{2\pi}{3}+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}={\frac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\approx3.83}$ ; $\displaystyle {f\left(\frac{4\pi}{3}\right)}={\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}\approx2.46}$ .
$\displaystyle {f''(x)}={-2\sin x}$ : שלילית כש־ $\displaystyle 0<x<\pi$ – קעורה כלפי מטה; חיובית כש־ $\displaystyle \pi<x<2\pi$ – קעורה כלפי מעלה.
ב־ $\displaystyle {x}={\pi}$ הקעירות מתחלפת: נקודת פיתול $\displaystyle (\pi,\pi)$ .
בקצות התחום: $\displaystyle {f(0)}={0}$ – מינימום בקצה, $\displaystyle {f(2\pi)}={2\pi}$ – מקסימום בקצה.

\displaystyle f(x)=x+2\sin x

\displaystyle y=x

\displaystyle M=(\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}+\sqrt{3})

\displaystyle N=(\frac{4\pi}{3},\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3})

\displaystyle I=(\pi,\pi)

הגרף מתפתל סביב הישר $\displaystyle {y}={x}$ (מקווקו): $\displaystyle 2\sin x$ מוסיף לו עד 2 ומוריד ממנו עד 2. הוא חותך את הישר כש־ $\displaystyle {\sin x}={0}$ – בנקודת הפיתול ובקצות התחום.

דוגמה:

\displaystyle \sqrt{\sin x}

בדוגמה שלפניכם נחקור את $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{\sin x}}$ – שורש של פונקציה טריגונומטרית:

תחום הגדרה: $\displaystyle \sin x\geq0$ , כלומר $\displaystyle 0\leq x\leq\pi$ , ובכל מחזור כזה: $\displaystyle 2\pi k\leq x\leq\pi+2\pi k$ . בין הקטעים האלה אין לפונקציה ערכים.
מחזור $\displaystyle 2\pi$ , ולכן מספיק לחקור את הקטע $\displaystyle 0\leq x\leq\pi$ .
$\displaystyle {f'(x)}={\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}}$ , ובתוך הקטע $\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש־ $\displaystyle {\cos x}={0}$ , כלומר $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}}$ .
$\displaystyle f'$ חיובית כש־ $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ ושלילית כש־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}<x<\pi$ : מקסימום $\displaystyle \left(\frac{\pi}{2},1\right)$ .

\displaystyle f(x)=\sqrt{\sin x}

בקצות הקטע, $\displaystyle (0,0)$ ו־ $\displaystyle (\pi,0)$ , הפונקציה מגיעה לערך הקטן ביותר שלה: נקודות מינימום בקצות תחום ההגדרה.
שם המכנה של $\displaystyle f'$ מתאפס והנגזרת לא מוגדרת: הגרף יוצא מהקצוות במשיק אנכי, כמו $\displaystyle \sqrt{x}$ ב־0.

המשפחה

\displaystyle {y}={\sin x+ax}

בכל הפונקציות במשפחה $\displaystyle {f(x)}={\sin x+ax}$ יש אותן נקודות פיתול, אבל רק בחלק מהן יש נקודות קיצון:

$\displaystyle {f''(x)}={-\sin x}$ , בלי $\displaystyle a$ : הקעירות מתחלפת בכל $\displaystyle {x}={\pi k}$ , לכל ערך של $\displaystyle a$ .
$\displaystyle {f'(x)}={\cos x+a}$ , ו־ $\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש־ $\displaystyle {\cos x}={-a}$ . למשוואה הזאת יש פתרון רק כש־ $\displaystyle -1\leq a\leq1$ .
כש־ $\displaystyle -1<a<1$ הנגזרת מחליפה סימן, ויש נקודות קיצון; כש־ $\displaystyle a>1$ או $\displaystyle a<-1$ – אין.

בלוח: $\displaystyle {a}={0.5}$ , $\displaystyle {a}={1}$ ו־ $\displaystyle {a}={2}$ .

\displaystyle f(x)=\sin x+0.5x

\displaystyle g(x)=\sin x+x

\displaystyle h(x)=\sin x+2x

$\displaystyle {a}={0.5}$ : הגרף עולה ויורד, עם נקודות קיצון.
$\displaystyle {a}={1}$ : $\displaystyle {f'(x)}={\cos x+1\geq0}$ , והפונקציה עולה. בנקודות $\displaystyle {x}={\pi+2\pi k}$ הנגזרת מתאפסת, אבל לא מחליפה סימן – אלה נקודות פיתול אופקיות.
$\displaystyle {a}={2}$ : $\displaystyle f'(x)\geq1$ , והפונקציה עולה בלי נקודות קיצון; נקודות הפיתול נשארו באותם $\displaystyle x$ .

הגרף של

\displaystyle x^2\sin x

את הגרף של $\displaystyle {f(x)}={x^2\sin x}$ אפשר לשרטט עוד לפני הגזירה, מהתכונות של שני הגורמים:

$\displaystyle -1\leq\sin x\leq1$ , ולכן $\displaystyle -x^2\leq f(x)\leq x^2$ : הגרף כלוא בין הפרבולות $\displaystyle {y}={x^2}$ ו־ $\displaystyle {y}={-x^2}$ – ה"מעטפת" שלו.
$\displaystyle {f(x)}={x^2}$ כש־ $\displaystyle {\sin x}={1}$ , ו־ $\displaystyle {f(x)}={-x^2}$ כש־ $\displaystyle {\sin x}={-1}$ : שם הגרף נוגע במעטפת.
נקודות האפס הן נקודות האפס של $\displaystyle \sin x$ , $\displaystyle {x}={\pi k}$ .
$\displaystyle {f(-x)}={(-x)^2\sin(-x)}={-f(x)}$ : הפונקציה אי־זוגית.

\displaystyle f(x)=x^{2}\sin x

\displaystyle y=x^{2}

\displaystyle y=-x^{2}

הפונקציה לא מחזורית: הגורם $\displaystyle \sin x$ חוזר על עצמו, אבל הגורם $\displaystyle x^2$ מגדיל את הגלים ככל שמתרחקים מ־0. ב־ $\displaystyle \sin x+x^2$ , לעומת זאת, $\displaystyle \sin x$ מוסיף לפרבולה גלים בגובה קבוע.

תרגיל 1

חקרו את הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sin x+\cos x}$ בתחום $\displaystyle 0\leq x\leq2\pi$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\sin x+\cos x$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ בתחום.

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\sin x+\cos x$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f''(x)}={0}$ בתחום.

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון ואת נקודות הפיתול שבלוח.

\displaystyle f(x)=\sin x+\cos x

כתבו את תחומי העלייה והירידה ואת תחומי הקעירות של $\displaystyle f$ בתחום.
מהו המחזור של $\displaystyle f$ ?

תרגיל 2

חקרו את הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sin^2x}$ בתחום $\displaystyle 0\leq x\leq\pi$ – מחזור אחד שלה.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ , וכתבו אותה בעזרת $\displaystyle \sin2x$ .

$\displaystyle f(x)=\sin^{2}x$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ בתחום.

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\sin^{2}x$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f''(x)}={0}$ בתחום.

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון ואת נקודות הפיתול שבלוח.

\displaystyle f(x)=\sin^{2}x

תרגיל 3

חקרו את הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{\sin x}{2+\cos x}}$ בתחום $\displaystyle 0\leq x\leq2\pi$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{2+\cos x}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ בתחום.

חשבו את $\displaystyle f\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{2+\cos x}$

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.

\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{2+\cos x}

למה הפונקציה מוגדרת לכל $\displaystyle x$ ?
הראו ש־ $\displaystyle f$ אי־זוגית, והסבירו איך זה מתאים לנקודות הקיצון שמצאתם.

תרגיל 4

חקרו את הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={2\sin x-x}$ בתחום $\displaystyle 0\leq x\leq2\pi$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=2\sin x-x$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ בתחום.

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=2\sin x-x$

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון ואת נקודות הפיתול שבלוח.

\displaystyle f(x)=2\sin x-x

כתבו את סוג כל נקודת קיצון, ואת הערכים הגדול ביותר והקטן ביותר של $\displaystyle f$ בתחום.
במשפחה $\displaystyle {y}={\sin x+ax}$ מהדוגמה, $\displaystyle \frac{1}{2}f(x)$ שייכת לאיזה $\displaystyle a$ ? איך זה מסביר שיש ל־ $\displaystyle f$ נקודות קיצון?

\displaystyle a

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

כללי גזירה ומשוואת המשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$

הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת
$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(f'(x)\right)'$
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ( $\displaystyle \cup$ )
$\displaystyle f''(x)>0$
הפונקציה קעורה כלפי מטה ( $\displaystyle \cap$ )
$\displaystyle f''(x)<0$
נקודה חשודה כנקודת פיתול – בודקים שהסימן של $\displaystyle f''$ מתחלף בה
$\displaystyle f''(x_0)=0$
נקודת מינימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0$
נקודת מקסימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0$
התאוצה – הנגזרת של המהירות
$\displaystyle a(t)=v'(t)=s''(t)$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle f(x)$ גדל או קטן בלי סוף כש־ $\displaystyle x$ מתקרב ל־ $\displaystyle a$
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle f(x)$ מתקרב ל־ $\displaystyle b$ כש־ $\displaystyle x\to\infty$ או כש־ $\displaystyle x\to-\infty$
$\displaystyle y=b$

שורשים

שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

רדיאנים ומחזוריות

חצי סיבוב ברדיאנים
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים במעגל שרדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
המחזור של $\displaystyle \sin x$ ושל $\displaystyle \cos x$ הוא $\displaystyle 2\pi$
$\displaystyle \sin(x+2\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x$
המחזור של $\displaystyle \tan x$ הוא $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \tan(x+\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan x$
הגבול שממנו נגזרת הנגזרת של $\displaystyle \sin x$ ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

זהויות טריגונומטריות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
סינוס – פונקציה אי־זוגית
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
קוסינוס – פונקציה זוגית
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
סינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
קוסינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
קוסינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
הפרש סינוסים
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
סינוס של סכום ושל הפרש זוויות
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

נגזרת של סינוס ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle (\sin x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x$
נגזרת של קוסינוס
$\displaystyle (\cos x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin x$
נגזרת של טנגנס
$\displaystyle (\tan x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}$