דלג לתוכן

תרגול: בעיות ערך קיצון

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 20 מתוך 26תרגול

תרגול: בעיות ערך קיצון

1

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+1\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{x^2+1}} בתחום 0≤x≤3\displaystyle 0\leq x\leq3.

א

מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

      ג

      חשבו את ערכי הפונקציה בנקודה שבתחום ובשני קצות התחום.
      כתבו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של f\displaystyle f בתחום.

      בנקודה שמצאתם

      f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        f(0)\displaystyle f(0)

        f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          f(3)\displaystyle f(3)

          f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            הערך הגדול ביותר

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              הערך הקטן ביותר

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                2

                נתונה הפונקציה f(x)=x8−x2\displaystyle {f(x)}={x\sqrt{8-x^2}}.

                א

                מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

                f(x)=x8−x2\displaystyle f(x)=x\sqrt{8-x^{2}}

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ב

                  פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

                    ג

                    סמנו על הגרף את נקודות הקיצון שבתוך תחום ההגדרה.

                    f(x)=x8−x2\displaystyle f(x)=x\sqrt{8-x^{2}}

                    ד

                    מהו תחום ההגדרה של f\displaystyle f?
                    מהם הערך הגדול ביותר והערך הקטן ביותר של f\displaystyle f בתחום 0≤x≤8\displaystyle 0\leq x\leq\sqrt{8}?

                    הערך הגדול ביותר

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      הערך הקטן ביותר

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        3

                        שני מספרים חיוביים x\displaystyle x ו־y\displaystyle y מקיימים xy=16\displaystyle {xy}={16}.
                        מחפשים את הערך הקטן ביותר של x2+y2\displaystyle x^2+y^2.
                        בעזרת y=16x\displaystyle {y}={\frac{16}{x}} מקבלים g(x)=x2+256x2\displaystyle {g(x)}={x^2+\frac{256}{x^2}}.

                        א

                        מצאו את g′(x)\displaystyle g'(x).

                        g(x)=x2+256x2\displaystyle g(x)=x^{2}+\frac{256}{x^{2}}

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          ב

                          פתרו את המשוואה g′(x)=0\displaystyle {g'(x)}={0}.

                            ג

                            חשבו את הערך הקטן ביותר של x2+y2\displaystyle x^2+y^2.

                            g(x)=x2+256x2\displaystyle g(x)=x^{2}+\frac{256}{x^{2}}

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              4

                              מחפשים את הנקודה על הגרף של y=x+3\displaystyle {y}={\sqrt{x+3}} הקרובה ביותר לנקודה A(2,0)\displaystyle A(2,0).

                              א

                              הראו שהמרחק מ־A\displaystyle A לנקודה (x,x+3)\displaystyle (x,\sqrt{x+3}) שעל הגרף הוא d(x)=x2−3x+7\displaystyle {d(x)}={\sqrt{x^2-3x+7}}.
                              הסבירו למה המרחק קטן ביותר כשהביטוי x2−3x+7\displaystyle x^2-3x+7 קטן ביותר.

                              ב

                              גזרו את הביטוי x2−3x+7\displaystyle x^2-3x+7, ופתרו את המשוואה שבה הנגזרת שווה ל־0.

                                ג

                                חשבו את המרחק הקצר ביותר.

                                d(x)=x2−3x+7\displaystyle d(x)=\sqrt{x^{2}-3x+7}

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                  5

                                  מגדרים חלקה מלבנית בשטח 200 מ"ר ליד קיר ארוך: הקיר הוא צלע אחת, ושלוש הצלעות האחרות מגודרות.
                                  x\displaystyle x – אורך כל אחת משתי הצלעות המאונכות לקיר, במטרים.

                                  א

                                  הראו שאורך הגדר הוא L(x)=2x+200x\displaystyle {L(x)}={2x+\frac{200}{x}}, ומצאו את L′(x)\displaystyle L'(x).

                                  L(x)=2x+200x\displaystyle L(x)=2x+\frac{200}{x}

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                    ב

                                    פתרו את המשוואה L′(x)=0\displaystyle {L'(x)}={0}.

                                      ג

                                      חשבו את האורך הקטן ביותר של הגדר.

                                      L(x)=2x+200x\displaystyle L(x)=2x+\frac{200}{x}

                                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                        6

                                        כוס בצורת גליל, פתוחה מלמעלה, מכילה 27π\displaystyle 27\pi סמ"ק.
                                        r\displaystyle r – רדיוס הבסיס, בס"מ.

                                        א

                                        הראו ששטח הפנים של הכוס (בסיס אחד ומעטפת) הוא S(r)=πr2+54πr\displaystyle {S(r)}={\pi r^2+\frac{54\pi}{r}}, ומצאו את S′(r)\displaystyle S'(r).

                                        S(r)=πr2+54πr\displaystyle S(r)=\pi r^{2}+\frac{54\pi}{r}

                                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                          ב

                                          פתרו את המשוואה S′(r)=0\displaystyle {S'(r)}={0}.

                                            ג

                                            חשבו את שטח הפנים הקטן ביותר.
                                            מה הגובה של הכוס הזאת?

                                            S(r)=πr2+54πr\displaystyle S(r)=\pi r^{2}+\frac{54\pi}{r}

                                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                              7

                                              מלבן חסום בחצי עיגול שרדיוסו 4: צלע אחת שלו על הקוטר.
                                              x\displaystyle x – המרחק מהמרכז לצלע הצד של המלבן.
                                              השטח של המלבן הוא S(x)=2x16−x2\displaystyle {S(x)}={2x\sqrt{16-x^2}}.

                                              א

                                              מצאו את S′(x)\displaystyle S'(x).

                                              S(x)=2x16−x2\displaystyle S(x)=2x\sqrt{16-x^{2}}

                                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                ב

                                                פתרו את המשוואה S′(x)=0\displaystyle {S'(x)}={0}.

                                                  ג

                                                  חשבו את השטח הגדול ביותר.

                                                  S(x)=2x16−x2\displaystyle S(x)=2x\sqrt{16-x^{2}}

                                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                    8

                                                    הבית A\displaystyle A נמצא 3 ק"מ מנהר ישר, והבית B\displaystyle B נמצא 5 ק"מ מהנהר, באותו צד שלו.
                                                    המרחק לאורך הנהר בין הנקודות הקרובות ביותר לשני הבתים הוא 6 ק"מ.
                                                    הולכים מ־A\displaystyle A אל נקודה P\displaystyle P על שפת הנהר, ממלאים מים, וממשיכים אל B\displaystyle B.
                                                    x\displaystyle x – המרחק לאורך הנהר מהנקודה הקרובה ל־A\displaystyle A עד P\displaystyle P.

                                                    א

                                                    הראו שאורך הדרך הוא L(x)=x2+9+(6−x)2+25\displaystyle {L(x)}={\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(6-x)^2+25}}, בתחום 0≤x≤6\displaystyle 0\leq x\leq6.

                                                    ב

                                                    פתרו את המשוואה L′(x)=0\displaystyle {L'(x)}={0}.

                                                      ג

                                                      חשבו את אורך הדרך הקצרה ביותר.
                                                      בדקו שהערכים בקצות התחום גדולים ממנו.

                                                      L(x)=x2+9+(6−x)2+25\displaystyle L(x)=\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{(6-x)^{2}+25}

                                                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                        9

                                                        נתונה הפונקציה f(x)=x2+4x\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2+4}{x}} בתחום 1≤x≤4\displaystyle 1\leq x\leq4.
                                                        הנגזרת שלה היא f′(x)=1−4x2\displaystyle {f'(x)}={1-\frac{4}{x^2}}.

                                                        א

                                                        פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

                                                          ב

                                                          חשבו את ערכי הפונקציה בנקודה שבתחום ובשני קצות התחום.

                                                          בנקודה שמצאתם

                                                          f(x)=x2+4x\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+4}{x}

                                                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                            f(1)\displaystyle f(1)

                                                            f(x)=x2+4x\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+4}{x}

                                                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                              f(4)\displaystyle f(4)

                                                              f(x)=x2+4x\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+4}{x}

                                                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                                ג

                                                                מהו הערך הקטן ביותר של f\displaystyle f בתחום, ומהו הערך הגדול ביותר?
                                                                איפה הפונקציה מקבלת את הערך הגדול ביותר?

                                                                הערך הקטן ביותר

                                                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                                  הערך הגדול ביותר

                                                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                                                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה