תרגול: פונקציות רציונליות

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 12 מתוך 26תרגול

תרגול: פונקציות רציונליות

כתבו בלוח את המשוואות של האסימפטוטות של $\displaystyle {f(x)}={\frac{3x+1}{x-2}}$ .

\displaystyle f(x)=\frac{3x+1}{x-2}

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2+x-2}{x^2-1}}$ .

צמצמו את השבר.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כתבו את תחום ההגדרה של $\displaystyle f$ , את האסימפטוטות שלה ואת הנקודה שבה יש חור בגרף.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{2}{x+1}}$ .

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{2}{x+1}$

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f''(x)<0$ .

איפה $\displaystyle f$ קעורה כלפי מעלה, ואיפה כלפי מטה? האם יש לה נקודת פיתול?

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2}{x^2+3}}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}$

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}$

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודות הפיתול.

\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}

\displaystyle y=1

כתבו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה.

פתרו את אי־השוויון.

כתבו בלוח את משוואת המשיק לגרף של $\displaystyle {f(x)}={\frac{6}{x+1}}$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={1}$ .

\displaystyle f(x)=\frac{6}{x+1}

\displaystyle x=-1

נתונה המשפחה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2+a}{x+1}}$ .
לאחת הפונקציות במשפחה יש נקודת קיצון ב־ $\displaystyle {x}={1}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+a}{x+1}$

$\displaystyle {f'(1)}={\frac{3-a}{4}}$ .
מצאו את $\displaystyle a$ .

למספר חיובי מוסיפים את 16 חלקי המספר.
לאיזה מספר הסכום הכי קטן?
הסכום הוא $\displaystyle {f(x)}={x+\frac{16}{x}}$ , כש־ $\displaystyle x>0$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

חשבו את הסכום הקטן ביותר.

$\displaystyle f(x)=x+\frac{16}{x}$

הראו בעזרת הנגזרת השנייה שזו נקודת מינימום.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{(x-1)^2}{x^2}}$ .

מצאו את $\displaystyle f'(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}$

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f''(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודת הפיתול.

\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}

\displaystyle x=0

\displaystyle y=1

כתבו את האסימפטוטות של $\displaystyle f$ , את תחומי העלייה והירידה ואת תחומי הקעירות.

הגרף בלוח הוא של פונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{a}{x-b}+c}$ .
הנקודה $\displaystyle (2,5)$ נמצאת עליו.
כתבו את הפונקציה בלוח.

\displaystyle y=\,?

\displaystyle x=1

\displaystyle y=3

\displaystyle (2,5)

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

כללי גזירה ומשוואת המשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$

הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת
$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(f'(x)\right)'$
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ( $\displaystyle \cup$ )
$\displaystyle f''(x)>0$
הפונקציה קעורה כלפי מטה ( $\displaystyle \cap$ )
$\displaystyle f''(x)<0$
נקודה חשודה כנקודת פיתול – בודקים שהסימן של $\displaystyle f''$ מתחלף בה
$\displaystyle f''(x_0)=0$
נקודת מינימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0$
נקודת מקסימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0$
התאוצה – הנגזרת של המהירות
$\displaystyle a(t)=v'(t)=s''(t)$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle f(x)$ גדל או קטן בלי סוף כש־ $\displaystyle x$ מתקרב ל־ $\displaystyle a$
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle f(x)$ מתקרב ל־ $\displaystyle b$ כש־ $\displaystyle x\to\infty$ או כש־ $\displaystyle x\to-\infty$
$\displaystyle y=b$

שורשים

שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

רדיאנים ומחזוריות

חצי סיבוב ברדיאנים
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים במעגל שרדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
המחזור של $\displaystyle \sin x$ ושל $\displaystyle \cos x$ הוא $\displaystyle 2\pi$
$\displaystyle \sin(x+2\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x$
המחזור של $\displaystyle \tan x$ הוא $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \tan(x+\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan x$
הגבול שממנו נגזרת הנגזרת של $\displaystyle \sin x$ ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

זהויות טריגונומטריות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
סינוס – פונקציה אי־זוגית
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
קוסינוס – פונקציה זוגית
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
סינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
קוסינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
קוסינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
הפרש סינוסים
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
סינוס של סכום ושל הפרש זוויות
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

נגזרת של סינוס ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle (\sin x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x$
נגזרת של קוסינוס
$\displaystyle (\cos x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin x$
נגזרת של טנגנס
$\displaystyle (\tan x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}$