תרגול: הנגזרת השנייה

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 8 מתוך 26תרגול

תרגול: הנגזרת השנייה

מצאו את הנגזרת השנייה של כל פונקציה.

$\displaystyle f(x)=x^{4}-2x^{3}+5x$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}$

$\displaystyle f(x)=(2x-1)^{3}$

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3+3x^2-9x}$ .
הנגזרת השנייה שלה היא $\displaystyle {f''(x)}={6x+6}$ .

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f''(x)>0$ : איפה $\displaystyle f$ קעורה כלפי מעלה?

סמנו על הגרף את נקודת הפיתול.

\displaystyle f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^3}{3}-x^2-3x+1}$ .
הנגזרת שלה היא $\displaystyle {f'(x)}={x^2-2x-3}$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

$\displaystyle {f''(x)}={2x-2}$ .
חשבו את $\displaystyle f''$ בשתי הנקודות שמצאתם.

$\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}-3x+1$

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.

\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}-3x+1

כתבו את הסוג של כל נקודת קיצון, לפי הסימן של $\displaystyle f''$ .

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^4-6x^3+12x^2}$ .

$\displaystyle f(x)=x^{4}-6x^{3}+12x^{2}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f''(x)}={0}$ .

סמנו על הגרף את נקודות הפיתול.

\displaystyle f(x)=x^{4}-6x^{3}+12x^{2}

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^4-4x^3+6x^2}$ .

$\displaystyle f(x)=x^{4}-4x^{3}+6x^{2}$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f''(x)}={0}$ .

האם הנקודה שמצאתם היא נקודת פיתול? נמקו.

בלוח הגרף של הנגזרת $\displaystyle {f'(x)}={x(x-2)^2}$ של פונקציה $\displaystyle f$ .

סמנו על הגרף את הנקודות שבהן הוא פוגש את ציר ה־ $\displaystyle x$ , ואת נקודות הקיצון שלו.

\displaystyle y=x(x-2)^{2}

לאילו נקודות של $\displaystyle f$ מתאימות הנקודות שסימנתם?
כתבו את נקודות הקיצון של $\displaystyle f$ ואת הסוג שלהן, ואת שיעורי ה־ $\displaystyle x$ של נקודות הפיתול של $\displaystyle f$ .

גוף נע לאורך קו ישר לפי $\displaystyle {s(t)}={t^3-9t^2+24t}$ , ו־ $\displaystyle t\geq0$ (מטרים, שניות).

מצאו את התאוצה $\displaystyle {a(t)}={s''(t)}$ .

$\displaystyle s(t)=t^{3}-9t^{2}+24t$

מתי התאוצה היא 0?

חשבו את המהירות ברגע הזה.
ברגע הזה המהירות היא הקטנה ביותר: למה?

$\displaystyle s(t)=t^{3}-9t^{2}+24t$

נתונה משפחת הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={x^4+ax^3}$ , ו־ $\displaystyle a$ פרמטר.

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ , בעזרת $\displaystyle a$ .

$\displaystyle f(x)=x^{4}+ax^{3}$

לאיזה ערך של $\displaystyle a$ יש לפונקציה נקודת פיתול ב־ $\displaystyle {x}={1}$ ?

בלוח הגרף של $\displaystyle {f(x)}={x^4-2x^2}$ ושני גרפים שהנוסחאות שלהם מוסתרות: של $\displaystyle f'$ ושל $\displaystyle f''$ .
כתבו בלוח את הנוסחה של כל אחד מהגרפים המוסתרים.

\displaystyle f(x)=x^{4}-2x^{2}

\displaystyle y=\,?

\displaystyle y=\,?

בכל טענה בחרו: תמיד, לפעמים או אף פעם לא – והוכיחו.
לפונקציה ממעלה שנייה יש נקודת פיתול.
לפונקציה ממעלה שלישית יש נקודת פיתול.
לפונקציה ממעלה רביעית יש נקודת פיתול.

הפונקציה $\displaystyle f$ גזירה פעמיים, ויש לה נקודת מינימום ב־ $\displaystyle x_0$ .
הסבירו למה $\displaystyle f''(x_0)$ אינה שלילית.

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

כללי גזירה ומשוואת המשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$

הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת
$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(f'(x)\right)'$
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ( $\displaystyle \cup$ )
$\displaystyle f''(x)>0$
הפונקציה קעורה כלפי מטה ( $\displaystyle \cap$ )
$\displaystyle f''(x)<0$
נקודה חשודה כנקודת פיתול – בודקים שהסימן של $\displaystyle f''$ מתחלף בה
$\displaystyle f''(x_0)=0$
נקודת מינימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0$
נקודת מקסימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0$
התאוצה – הנגזרת של המהירות
$\displaystyle a(t)=v'(t)=s''(t)$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle f(x)$ גדל או קטן בלי סוף כש־ $\displaystyle x$ מתקרב ל־ $\displaystyle a$
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle f(x)$ מתקרב ל־ $\displaystyle b$ כש־ $\displaystyle x\to\infty$ או כש־ $\displaystyle x\to-\infty$
$\displaystyle y=b$

שורשים

שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

רדיאנים ומחזוריות

חצי סיבוב ברדיאנים
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים במעגל שרדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
המחזור של $\displaystyle \sin x$ ושל $\displaystyle \cos x$ הוא $\displaystyle 2\pi$
$\displaystyle \sin(x+2\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x$
המחזור של $\displaystyle \tan x$ הוא $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \tan(x+\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan x$
הגבול שממנו נגזרת הנגזרת של $\displaystyle \sin x$ ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

זהויות טריגונומטריות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
סינוס – פונקציה אי־זוגית
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
קוסינוס – פונקציה זוגית
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
סינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
קוסינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
קוסינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
הפרש סינוסים
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
סינוס של סכום ושל הפרש זוויות
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

נגזרת של סינוס ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle (\sin x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x$
נגזרת של קוסינוס
$\displaystyle (\cos x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin x$
נגזרת של טנגנס
$\displaystyle (\tan x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}$