קצב השינוי של קצב השינוי

כשגוף נע לאורך קו ישר, $\displaystyle s(t)$ הוא המיקום שלו בזמן $\displaystyle t$. המהירות היא קצב השינוי של המיקום, והתאוצה היא קצב השינוי של המהירות:

בדוגמה שלפניכם גוף נע לפי $\displaystyle {s(t)}={t^3-6t^2+9t}$ (מטרים, שניות):

• $\displaystyle {v(t)}={s'(t)}={3t^2-12t+9}={3(t-1)(t-3)}$.
• $\displaystyle {a(t)}={s''(t)}={6t-12}$.

בלוח – $\displaystyle s$ ו־$\displaystyle v$, כש־$\displaystyle t$ על ציר ה־$\displaystyle x$:

• $\displaystyle v>0$ כש־$\displaystyle t<1$ וכש־$\displaystyle t>3$: הגוף נע קדימה. $\displaystyle v<0$ כש־$\displaystyle 1<t<3$: הגוף חוזר אחורה.
• $\displaystyle a<0$ כש־$\displaystyle t<2$ ו־$\displaystyle a>0$ כש־$\displaystyle t>2$: ב־$\displaystyle {t}={2}$ יש ל־$\displaystyle v$ מינימום, ול־$\displaystyle s$ נקודת פיתול.
• תאוצה חיובית אומרת שהמהירות עולה – לא תמיד שהגוף מאיץ. כש־$\displaystyle 2<t<3$ המהירות שלילית ועולה לכיוון 0: הגוף נע אחורה ומאט.

בדיון על יוקר המחיה הציג דובר אחד גרף של מדד המחירים $\displaystyle P(t)$, ואמר: “המחירים עולים כל הזמן”. דוברת אחרת הציגה את אותו גרף, ואמרה: “הטיפול בעליית המחירים מצליח – העלייה נבלמת”. בלוח – גרף כזה:

שניהם צודקים, כל אחד לגבי נגזרת אחרת:

• הדובר הראשון מדבר על $\displaystyle P'$: $\displaystyle P'(t)>0$, המחירים עולים.
• הדוברת השנייה מדברת על $\displaystyle P''$: $\displaystyle P''(t)<0$, הגרף קעור כלפי מטה – קצב העלייה הולך וקטן.

כשכמות גדלה, הרגע שבו היא גדלה הכי מהר הוא נקודת המקסימום של $\displaystyle f'$. שם $\displaystyle f''$ מחליפה סימן מ־+ ל־−, כלומר זו נקודת פיתול של $\displaystyle f$: עד אליה הגידול מואץ (קעירות כלפי מעלה), ואחריה הוא מאט (קעירות כלפי מטה).

דוגמה מוכרת – מילוי כלי במים בקצב קבוע:

• בחלק צר של הכלי גובה המים עולה מהר, ובחלק רחב – לאט.
• בכלי שמתרחב כלפי מעלה, הגובה עולה לאט יותר ויותר: הגרף של הגובה לפי הזמן קעור כלפי מטה.
• בכלי שמצר כלפי מעלה, הגובה עולה מהר יותר ויותר: הגרף קעור כלפי מעלה.

גוף נע לאורך קו ישר לפי $\displaystyle {s(t)}={t^3-6t^2+9t}$, ו־$\displaystyle t\geq0$ (מטרים, שניות).

חשבו את המהירות של הגוף אחרי 2 שניות.

מצאו את התאוצה $\displaystyle {a(t)}={s''(t)}$.

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle a(t)>0$: מתי המהירות עולה?

המהירות אחרי 2 שניות שלילית, והתאוצה אחרי 2 שניות היא 0.
מה זה אומר על התנועה ברגע הזה?

מספר החיידקים בתרבית (באלפים) $\displaystyle t$ שעות אחרי תחילת ניסוי הוא $\displaystyle {P(t)}={-t^3+12t^2+100}$, ו־$\displaystyle 0\leq t\leq8$.

מצאו את $\displaystyle P''(t)$.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {P''(t)}={0}$.

חשבו את קצב הגידול של התרבית ברגע שמצאתם.

בלוח הגרף של $\displaystyle P$, כש־$\displaystyle t$ על ציר ה־$\displaystyle x$.
סמנו את הנקודה שבה התרבית גדלה הכי מהר.

הגרף מראה את אורך היום בתל אביב במהלך שנה:

מתי היום הארוך ביותר בשנה?
באיזה פרק זמן אורך היום הולך וגדל?

חשבו בכמה גדל אורך היום מכל חודש לחודש שאחריו, מינואר עד יוני.
מתי אורך היום גדל בקצב המהיר ביותר?
איזו נקודה בגרף זו?

מוזגים מים בקצב קבוע לכוס שרוחבה גדל מלמטה למעלה.
האם הגרף של גובה המים לפי הזמן קעור כלפי מעלה או כלפי מטה? נמקו.

בכתבה נאמר: “מספר המובטלים עדיין עולה, אבל בקצב איטי יותר”.
מה הסימן של הנגזרת הראשונה ושל הנגזרת השנייה של מספר המובטלים לפי הזמן?