פונקציה רציונלית: ליד נקודות אי־הגדרה ובקצוות

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 9 מתוך 26לימוד

פונקציה רציונלית: ליד נקודות אי־הגדרה ובקצוות

משני הצדדים של אסימפטוטה אנכית

ליד נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה, המכנה קטן מאוד והמונה לא, ולכן $\displaystyle f(x)$ גדל בלי סוף או קטן בלי סוף. מה מהשניים קורה בכל צד – לפי הסימנים:

הסימן של המונה ליד הנקודה;
הסימן של המכנה קצת משמאל לנקודה וקצת מימינה.

בדוגמה שלפניכם נבדוק את שני הצדדים של $\displaystyle {x}={2}$ בפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x+1}{x-2}}$ :

ליד $\displaystyle {x}={2}$ המונה קרוב ל־3, חיובי;
קצת מימין ל־2 (למשל $\displaystyle {x}={2.01}$ ) המכנה מספר חיובי קטן: $\displaystyle {f(x)}={\frac{3.01}{0.01}}={301}$ , ו־ $\displaystyle f(x)$ גדל בלי סוף;
קצת משמאל ל־2 (למשל $\displaystyle {x}={1.99}$ ) המכנה מספר שלילי קטן: $\displaystyle {f(x)}={\frac{2.99}{-0.01}}={-299}$ , ו־ $\displaystyle f(x)$ קטן בלי סוף.

\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x-2}

\displaystyle x=2

\displaystyle y=1

כשהגורם במכנה מופיע בחזקה זוגית, הוא חיובי משני הצדדים, ולכן הגרף הולך לאותו כיוון משני הצדדים. בפונקציה $\displaystyle {g(x)}={\frac{3}{(x-1)^2}}$ הערך $\displaystyle g(x)$ גדל בלי סוף משני הצדדים של $\displaystyle {x}={1}$ .

\displaystyle g(x)=\frac{3}{(x-1)^{2}}

\displaystyle x=1

אסימפטוטה אופקית לפי המעלות

כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף, רק החזקות הגבוהות של המונה ושל המכנה משנות, ולכן המעלות שלהם קובעות את האסימפטוטה האופקית:

מעלת המונה קטנה יותר: $\displaystyle f(x)$ מתקרב ל־0, והאסימפטוטה היא $\displaystyle {y}={0}$ ;
המעלות שוות: האסימפטוטה היא $\displaystyle {y}={b}$ , כש־ $\displaystyle b$ הוא היחס בין המקדמים של החזקות הגבוהות;
מעלת המונה גדולה יותר: $\displaystyle f(x)$ גדל או קטן בלי סוף, ואין אסימפטוטה אופקית.

הסימן של $\displaystyle f(x)-b$ אומר מאיזה צד הגרף מתקרב ל־ $\displaystyle {y}={b}$ : מעליו כש־ $\displaystyle f(x)-b>0$ , ומתחתיו כש־ $\displaystyle f(x)-b<0$ .

למשל, ל־ $\displaystyle {f(x)}={\frac{2x^2}{x^2+1}}$ יש אסימפטוטה $\displaystyle {y}={2}$ , ו־ $\displaystyle {f(x)-2}={\frac{2x^2-2x^2-2}{x^2+1}}={\frac{-2}{x^2+1}<0}$ : הגרף מתחת לאסימפטוטה בשני הקצוות.

גרף שחותך אסימפטוטה אופקית

אסימפטוטה אופקית מתארת את הגרף רק רחוק משמאל ורחוק מימין, ולכן באמצע הגרף יכול לחתוך אותה. בדוגמה שלפניכם נמצא איפה הגרף של $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2+x}{x^2+1}}$ פוגש את האסימפטוטה שלו, $\displaystyle {y}={1}$ :

מ־ $\displaystyle {\frac{x^2+x}{x^2+1}}={1}$ מקבלים $\displaystyle {x^2+x}={x^2+1}$ , כלומר $\displaystyle {x}={1}$ : הגרף חותך את האסימפטוטה בנקודה $\displaystyle (1,1)$ ;
$\displaystyle {f(x)-1}={\frac{x-1}{x^2+1}}$ : חיובי כש־ $\displaystyle x>1$ – רחוק מימין הגרף מתקרב ל־ $\displaystyle {y}={1}$ מלמעלה;
שלילי כש־ $\displaystyle x<1$ – רחוק משמאל הוא מתקרב ל־ $\displaystyle {y}={1}$ מלמטה.

\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+x}{x^{2}+1}

\displaystyle y=1

\displaystyle (1,1)

נקודת אי־רציפות סליקה

מספר שמאפס גם את המונה וגם את המכנה לא נותן אסימפטוטה כשהגורם המשותף מצטמצם: בגרף יש שם חור. למשל, $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2-1}{x^2-x}}$ :

$\displaystyle {f(x)}={\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}}={\frac{x+1}{x}}$ , בתנאי $\displaystyle x\neq1$ ;
$\displaystyle {x}={0}$ מאפס רק את המכנה: אסימפטוטה אנכית $\displaystyle {x}={0}$ ;
$\displaystyle {x}={1}$ מאפס את שניהם: חור בנקודה $\displaystyle {\left(1,\frac{1+1}{1}\right)}={(1,2)}$ ;
ליד $\displaystyle {x}={1}$ הערכים של $\displaystyle f$ קרובים ל־2, משני הצדדים.

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{2x-4}{x+1}}$ .

כתבו בלוח את המשוואות של האסימפטוטה האנכית ושל האסימפטוטה האופקית שלה.

\displaystyle f(x)=\frac{2x-4}{x+1}

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f(x)>0$ .

באיזה צד של $\displaystyle {x}={-1}$ הערך $\displaystyle f(x)$ גדל בלי סוף, ובאיזה צד הוא קטן בלי סוף?
הסבירו לפי הסימנים של המונה ושל המכנה.

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2+2x}{x^2+1}}$ .
האסימפטוטה האופקית שלה היא $\displaystyle {y}={1}$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f(x)}={1}$ .

סמנו בלוח את הנקודה שבה הגרף חותך את האסימפטוטה שלו.

\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+2x}{x^{2}+1}

\displaystyle y=1

חשבו את $\displaystyle f(x)-1$ .
מאיזה צד הגרף מתקרב לאסימפטוטה רחוק מימין, ומאיזה צד רחוק משמאל?

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{(x-2)^2}}$ .

כתבו בלוח את המשוואות של האסימפטוטות שלה.

\displaystyle f(x)=\frac{x}{(x-2)^{2}}

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f(x)>0$ .

מה עושה $\displaystyle f(x)$ בכל אחד מהצדדים של $\displaystyle {x}={2}$ ? הסבירו.

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2-3x}{x^2-9}}$ .

צמצמו את השבר.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כתבו את תחום ההגדרה של $\displaystyle f$ , את האסימפטוטות שלה ואת הנקודה שבה יש חור בגרף.

תרגיל 5

כתבו פונקציה רציונלית שיש לה כל התכונות האלה:

אסימפטוטה אנכית $\displaystyle {x}={1}$ , ו־ $\displaystyle f(x)$ גדל בלי סוף משני הצדדים שלה;
אסימפטוטה אופקית $\displaystyle {y}={0}$ .

הסבירו למה הפונקציה שכתבתם מתאימה.

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

כללי גזירה ומשוואת המשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$

הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת
$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(f'(x)\right)'$
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ( $\displaystyle \cup$ )
$\displaystyle f''(x)>0$
הפונקציה קעורה כלפי מטה ( $\displaystyle \cap$ )
$\displaystyle f''(x)<0$
נקודה חשודה כנקודת פיתול – בודקים שהסימן של $\displaystyle f''$ מתחלף בה
$\displaystyle f''(x_0)=0$
נקודת מינימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0$
נקודת מקסימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0$
התאוצה – הנגזרת של המהירות
$\displaystyle a(t)=v'(t)=s''(t)$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle f(x)$ גדל או קטן בלי סוף כש־ $\displaystyle x$ מתקרב ל־ $\displaystyle a$
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle f(x)$ מתקרב ל־ $\displaystyle b$ כש־ $\displaystyle x\to\infty$ או כש־ $\displaystyle x\to-\infty$
$\displaystyle y=b$

שורשים

שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

רדיאנים ומחזוריות

חצי סיבוב ברדיאנים
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים במעגל שרדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
המחזור של $\displaystyle \sin x$ ושל $\displaystyle \cos x$ הוא $\displaystyle 2\pi$
$\displaystyle \sin(x+2\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x$
המחזור של $\displaystyle \tan x$ הוא $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \tan(x+\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan x$
הגבול שממנו נגזרת הנגזרת של $\displaystyle \sin x$ ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

זהויות טריגונומטריות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
סינוס – פונקציה אי־זוגית
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
קוסינוס – פונקציה זוגית
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
סינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
קוסינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
קוסינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
הפרש סינוסים
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
סינוס של סכום ושל הפרש זוויות
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

נגזרת של סינוס ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle (\sin x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x$
נגזרת של קוסינוס
$\displaystyle (\cos x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin x$
נגזרת של טנגנס
$\displaystyle (\tan x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}$