פונקציה רציונלית: פרמטרים ומשיקים

אות בנוסחה מלבד $\displaystyle x$ – פרמטר – יוצרת משפחה של פונקציות, פונקציה לכל ערך של האות. עובדה על פונקציה אחת מהמשפחה היא משוואה בפרמטר. בדוגמה שלפניכם נעבוד עם המשפחה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2+a}{x}}$:

• $\displaystyle {f'(x)}={\frac{2x\cdot x-(x^2+a)}{x^2}}={\frac{x^2-a}{x^2}}$.
• כדי שתהיה נקודת קיצון ב־$\displaystyle {x}={2}$: $\displaystyle {f'(2)}={0}$, כלומר $\displaystyle {\frac{4-a}{4}}={0}$, ו־$\displaystyle {a}={4}$.
• כש־$\displaystyle {a}={4}$: $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2+4}{x}}$, ויש לה נקודת מינימום $\displaystyle (2,4)$ ונקודת מקסימום $\displaystyle (-2,-4)$.
• כש־$\displaystyle a<0$: $\displaystyle x^2-a>0$ לכל $\displaystyle x$, ולכן $\displaystyle f'(x)>0$ בכל תחום ההגדרה – הפונקציה עולה, ואין לה נקודות קיצון.

המשיק בנקודה שעל הגרף שבה $\displaystyle {x}={x_1}$ הוא הישר שעובר דרך $\displaystyle (x_1,f(x_1))$ ושיפועו $\displaystyle f'(x_1)$. בדוגמה שלפניכם נמצא את המשיק לגרף של $\displaystyle {f(x)}={\frac{4}{x}}$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={2}$:

• $\displaystyle {f(2)}={2}$: הנקודה $\displaystyle (2,2)$;
• $\displaystyle {f'(x)}={-\frac{4}{x^2}}$, ולכן $\displaystyle {f'(2)}={-1}$;
• $\displaystyle {y-2}={-1\cdot(x-2)}$, כלומר $\displaystyle {y}={-x+4}$.

כשנתון השיפוע של המשיק ולא הנקודה, המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={m}$ נותנת את הנקודות. בדוגמה שלפניכם נמצא את המשיקים לגרף של $\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{x-1}}$ ששיפועם $\displaystyle -1$:

• $\displaystyle {f'(x)}={\frac{(x-1)-x}{(x-1)^2}}={\frac{-1}{(x-1)^2}}$;
• מ־$\displaystyle {\frac{-1}{(x-1)^2}}={-1}$ מקבלים $\displaystyle {(x-1)^2}={1}$, כלומר $\displaystyle {x}={0}$ או $\displaystyle {x}={2}$;
• הנקודות $\displaystyle (0,0)$ ו־$\displaystyle (2,2)$, והמשיקים $\displaystyle {y}={-x}$ ו־$\displaystyle {y}={-x+4}$.

שני המשיקים מקבילים: הגרף של $\displaystyle f$ סימטרי לנקודה $\displaystyle (1,1)$, שבה האסימפטוטות נפגשות.

האסימפטוטות זזות עם הגרף:

• $\displaystyle {g(x)}={f(x-p)+k}$: הגרף זז $\displaystyle p$ ימינה ו־$\displaystyle k$ למעלה, ולכן אסימפטוטה $\displaystyle {x}={a}$ הופכת ל־$\displaystyle {x}={a+p}$, ו־$\displaystyle {y}={b}$ הופכת ל־$\displaystyle {y}={b+k}$;
• $\displaystyle {g(x)}={|f(x)|}$: החלקים של הגרף שמתחת לציר ה־$\displaystyle x$ מתהפכים אל מעליו; אסימפטוטה אנכית נשארת, ו־$\displaystyle {y}={b}$ הופכת ל־$\displaystyle {y}={|b|}$.

נתונה המשפחה $\displaystyle {f(x)}={\frac{ax}{x^2+4}}$, כש־$\displaystyle a\neq0$.
לאחת הפונקציות יש נקודת מקסימום $\displaystyle (2,1)$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

הסבירו למה לכל פונקציה במשפחה יש נקודות קיצון ב־$\displaystyle {x}={\pm2}$.

$\displaystyle {f(2)}={\frac{2a}{8}}$.
מצאו את $\displaystyle a$.

סמנו את נקודות הקיצון של הפונקציה שמצאתם.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x+1}{x-1}}$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

כתבו בלוח את משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={3}$.

באילו נקודות של הגרף שיפוע המשיק הוא $\displaystyle -2$?

כתבו בלוח את המשוואות של שני המשיקים ששיפועם $\displaystyle -2$.

נתונה המשפחה $\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2+a}{x-1}}$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

לאחת הפונקציות במשפחה יש נקודת קיצון ב־$\displaystyle {x}={3}$.
$\displaystyle {f'(3)}={\frac{9-6-a}{4}}$.
מצאו את $\displaystyle a$.

אין ל־$\displaystyle f$ נקודות קיצון כשלמונה של $\displaystyle f'$, $\displaystyle x^2-2x-a$, אין שורשים חוץ משורש משותף עם המכנה.
הדיסקרימיננטה שלו היא $\displaystyle 4+4a$.
פתרו את אי־השוויון.

מהו הגרף של $\displaystyle f$ כש־$\displaystyle {a}={-1}$? הסבירו למה אין לו נקודות קיצון.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{2}{x}}$.
$\displaystyle {g(x)}={f(x-1)+3}$.

כתבו בלוח את המשוואות של האסימפטוטות של $\displaystyle g$.

מהן האסימפטוטות של $\displaystyle {h(x)}={|f(x)-3|}$? הסבירו.