דלג לתוכן

חזרה: החשבון הדיפרנציאלי של כיתה י'

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 1 מתוך 26לימוד

חזרה: החשבון הדיפרנציאלי של כיתה י'

כללי הגזירה

בכיתה י’ למדתם שהנגזרת f′(x)\displaystyle f'(x) היא קצב השינוי של f\displaystyle f בנקודה – שיפוע המשיק לגרף. אלה הכללים שלמדתם לחשב אותה:

(xn)′\displaystyle (x^n)' =\displaystyle = nxn−1\displaystyle nx^{n-1}
[f(x)⋅g(x)]′\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]' =\displaystyle = f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)
[f(x)g(x)]′\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' =\displaystyle = f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)[g(x)]2\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}
[f(u(x))]′\displaystyle [f(u(x))]' =\displaystyle = f′(u)⋅u′(x)\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)
(x)′\displaystyle (\sqrt{x})' =\displaystyle = 12x\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}

ומשוואת המשיק לגרף בנקודה (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1) שעליו:

y−y1\displaystyle y-y_1 =\displaystyle = f′(x1)(x−x1)\displaystyle f'(x_1)(x-x_1)
שלבי החקירה

חקירה של פונקציה, כפי שלמדתם בכיתה י’, עוברת בשלבים האלה:

  • תחום ההגדרה: מכנה שונה מ־0, ביטוי מתחת לשורש לא שלילי.
  • חיתוך עם הצירים: f(x)=0\displaystyle {f(x)}={0}, ו־f(0)\displaystyle f(0) אם 0 בתחום.
  • אסימפטוטות – אנכיות ואופקיות.
  • הנגזרת: פותרים f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}, ובונים טבלת סימנים של f′\displaystyle f'.
  • עלייה, ירידה ונקודות קיצון: f′>0\displaystyle f'>0 – עולה, f′<0\displaystyle f'<0 – יורדת; הסימן מתחלף מ־+ ל־− – מקסימום, מ־− ל־+ – מינימום.
  • סקיצה של הגרף.
דוגמה: x3−3x2\displaystyle x^3-3x^2

בדוגמה שלפניכם נחקור את f(x)=x3−3x2\displaystyle {f(x)}={x^3-3x^2}:

  • f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)\displaystyle {f'(x)}={3x^2-6x}={3x(x-2)}, ולכן f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0} כש־x=0\displaystyle {x}={0} או x=2\displaystyle {x}={2}.
x\displaystyle xx<0\displaystyle x<00\displaystyle 00<x<2\displaystyle 0<x<22\displaystyle 2x>2\displaystyle x>2
f′(x)\displaystyle f'(x)+0−0+
f(x)\displaystyle f(x)עולהמקסימוםיורדתמינימוםעולה
f(x)=x3−3x2\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}
M=(0,0)\displaystyle M=(0,0)
N=(2,−4)\displaystyle N=(2,-4)
  • נקודת מקסימום: (0,0)\displaystyle (0,0); נקודת מינימום: (2,−4)\displaystyle (2,-4).
  • הפונקציה עולה כש־x<0\displaystyle x<0 וכש־x>2\displaystyle x>2, ויורדת כש־0<x<2\displaystyle 0<x<2.
פונקציות שורש ופונקציות רציונליות

בסוף כיתה י’ הכרתם שתי משפחות של פונקציות, שבקורס הזה תחקרו לעומק:

  • פונקציית שורש, כמו f(x)\displaystyle \sqrt{f(x)}: מוגדרת כש־f(x)≥0\displaystyle f(x)\geq0; נקודת קיצון יכולה להיות בקצה של תחום ההגדרה.
  • פונקציה רציונלית, מנה של פולינומים: מוגדרת כשהמכנה שונה מ־0.
  • נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה – אסימפטוטה אנכית; נקודה שמאפסת את שניהם – לרוב נקודת אי־רציפות סליקה, חור בגרף.
  • אסימפטוטה אופקית – הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־x\displaystyle x גדל או קטן בלי סוף.
תרגיל 1

גזרו את הפונקציות.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9x\displaystyle {f(x)}={x^3-6x^2+9x}.
          הנגזרת שלה היא f′(x)=3x2−12x+9\displaystyle {f'(x)}={3x^2-12x+9}.

          א

          פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

            ב

            סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.

            f(x)=x3−6x2+9x\displaystyle f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x

            ג

            כתבו את הסוג של כל נקודת קיצון ואת תחומי העלייה והירידה של f\displaystyle f.

            תרגיל 3

            נתונה הפונקציה f(x)=4x\displaystyle {f(x)}={\frac{4}{x}}.
            הנקודה (2,2)\displaystyle (2,2) נמצאת על הגרף שלה.

            א

            חשבו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה (2,2)\displaystyle (2,2).

            f(x)=4x\displaystyle f(x)=\frac{4}{x}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              כתבו בלוח את משוואת המשיק.

              f(x)=4x\displaystyle f(x)=\frac{4}{x}
              (2,2)\displaystyle (2,2)

              תרגיל 4

              נתונה הפונקציה f(x)=x2+1x2−1\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2+1}{x^2-1}}.

              א

              כתבו בלוח את המשוואות של שתי האסימפטוטות האנכיות ושל האסימפטוטה האופקית.

              f(x)=x2+1x2−1\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}

              ב

              מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

              f(x)=x2+1x2−1\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג

                מצאו את נקודת הקיצון של f\displaystyle f וקבעו את הסוג שלה.