דלג לתוכן

חזרה על הקורס

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 26 מתוך 26תרגול

חזרה על הקורס

1

נתונה הפונקציה f(x)=x4−6x2\displaystyle {f(x)}={x^4-6x^2}.

א

מצאו את f′′(x)\displaystyle f''(x).

f(x)=x4−6x2\displaystyle f(x)=x^{4}-6x^{2}

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    פתרו את אי־השוויון f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0: איפה f\displaystyle f קעורה כלפי מטה?

      ג

      סמנו על הגרף את נקודות הפיתול.

      f(x)=x4−6x2\displaystyle f(x)=x^{4}-6x^{2}

      2

      נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x\displaystyle {f(x)}={x^3-3x}, והנגזרת שלה f′(x)=3x2−3\displaystyle {f'(x)}={3x^2-3}.

      א

      פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0}.

        ב

        חשבו את f′′\displaystyle f'' בכל אחת מהנקודות שמצאתם.

        x<0\displaystyle x<0

        f(x)=x3−3x\displaystyle f(x)=x^{3}-3x

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          x>0\displaystyle x>0

          f(x)=x3−3x\displaystyle f(x)=x^{3}-3x

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג

            קבעו לפי הנגזרת השנייה את הסוג של כל נקודת קיצון.
            למה אי אפשר לקבוע כך את סוג הנקודה של g(x)=x3\displaystyle {g(x)}={x^3} שבה x=0\displaystyle {x}={0}?

            3

            בלוח מסורטט הגרף של הנגזרת f′\displaystyle f' של פונקציה f\displaystyle f: f′(x)=x2−4x+3\displaystyle {f'(x)}={x^2-4x+3}.
            סמנו על הגרף של f′\displaystyle f' את הנקודות שבהן f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0} ואת נקודת הקיצון של f′\displaystyle f'.

            g(x)=x2−4x+3\displaystyle g(x)=x^{2}-4x+3

            א

            כתבו לפי הגרף של f′\displaystyle f':

            • איפה f\displaystyle f עולה ואיפה היא יורדת;
            • את שיעורי ה־x\displaystyle x של נקודות הקיצון של f\displaystyle f ואת הסוג שלהן;
            • את שיעור ה־x\displaystyle x של נקודת הפיתול של f\displaystyle f, ואת תחומי הקעירות שלה.
            שיעור ה־x\displaystyle x של נקודת הפיתול

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              4

              נתונה הפונקציה f(x)=x2x2+3\displaystyle {f(x)}={\frac{x^2}{x^2+3}}.

              א

              הפונקציה מוגדרת לכל x\displaystyle x. כתבו בלוח את משוואת האסימפטוטה האופקית שלה.

              f(x)=x2x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}

              ב

              מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

              f(x)=x2x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג

                מצאו את f′′(x)\displaystyle f''(x).

                f(x)=x2x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ד

                  פתרו את אי־השוויון f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0: איפה f\displaystyle f קעורה כלפי מעלה?

                    ה

                    סמנו על הגרף את נקודת הקיצון ואת נקודות הפיתול.

                    f(x)=x2x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}
                    y=1\displaystyle y=1

                    5

                    נתונה הפונקציה f(x)=xx2+1\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}.

                    א

                    ל־f\displaystyle f שתי אסימפטוטות אופקיות שונות: אחת כש־x→∞\displaystyle x\to\infty ואחת כש־x→−∞\displaystyle x\to-\infty.
                    כתבו בלוח את המשוואות של שתיהן.

                    f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}

                    ב

                    מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

                    f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ג

                      הסבירו למה f\displaystyle f עולה בכל תחום ההגדרה.
                      הראו ש־f\displaystyle f אי־זוגית, והסבירו איך זה מתאים לשתי האסימפטוטות.

                      6

                      נתונה הפונקציה f(x)=4x2+1\displaystyle {f(x)}={\frac{4}{x^2+1}}, והנקודה (1,2)\displaystyle (1,2) שעל הגרף שלה.

                      א

                      חשבו את שיפוע המשיק בנקודה.

                      f(x)=4x2+1\displaystyle f(x)=\frac{4}{x^{2}+1}

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        ב

                        כתבו בלוח את משוואת המשיק.

                        f(x)=4x2+1\displaystyle f(x)=\frac{4}{x^{2}+1}

                        7

                        מלבן חסום בחצי עיגול שרדיוסו 8\displaystyle \sqrt{8}: צלע אחת שלו על הקוטר.
                        x\displaystyle x – המרחק מהמרכז לצלע הצד של המלבן.
                        השטח של המלבן הוא S(x)=2x8−x2\displaystyle {S(x)}={2x\sqrt{8-x^2}}, בתחום 0<x<8\displaystyle 0<x<\sqrt{8}.

                        א

                        מצאו את S′(x)\displaystyle S'(x).

                        S(x)=2x8−x2\displaystyle S(x)=2x\sqrt{8-x^{2}}

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          ב

                          פתרו את המשוואה S′(x)=0\displaystyle {S'(x)}={0}.

                            ג

                            חשבו את השטח הגדול ביותר.

                            S(x)=2x8−x2\displaystyle S(x)=2x\sqrt{8-x^{2}}

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              8

                              נתונה הפונקציה f(x)=x+2cos⁡x\displaystyle {f(x)}={x+2\cos x} בתחום 0≤x≤2π\displaystyle 0\leq x\leq2\pi.

                              א

                              מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

                              f(x)=x+2cos⁡x\displaystyle f(x)=x+2\cos x

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                ב

                                פתרו את המשוואה f′(x)=0\displaystyle {f'(x)}={0} בתחום.

                                  ג

                                  f′′(x)=−2cos⁡x\displaystyle {f''(x)}={-2\cos x}. פתרו את המשוואה f′′(x)=0\displaystyle {f''(x)}={0} בתחום.

                                    ד

                                    סמנו על הגרף את נקודות הקיצון ואת נקודות הפיתול שבלוח.

                                    f(x)=x+2cos⁡x\displaystyle f(x)=x+2\cos x

                                    9

                                    גזרו.

                                    א

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                      ב

                                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה