דלג לתוכן

נגזרת של פונקציות עם שורשים ומשוואות עם שורש

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 14 מתוך 26לימוד

נגזרת של פונקציות עם שורשים ומשוואות עם שורש

מכפלה ומנה עם שורש

גוזרים פונקציה עם שורש לפי הכללים שאתם מכירים, יחד עם הנגזרת של שורש של פונקציה:

(f(x))′\displaystyle (\sqrt{f(x)})' =\displaystyle = f′(x)2f(x)\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}

בשתי הדוגמאות שלפניכם השלב האחרון מביא את הנגזרת למכנה אחד, ושם קל לקרוא את הסימן שלה:

(x4−x2)′=4−x2+x⋅−2x24−x2=(4−x2)−x24−x2=4−2x24−x2\left(x\sqrt{4-x^2}\right)'=\sqrt{4-x^2}+x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=\frac{(4-x^2)-x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}(xx+1)′=12x⋅(x+1)−x(x+1)2=(x+1)−2x2x(x+1)2=1−x2x(x+1)2\left(\frac{\sqrt{x}}{x+1}\right)'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}
  • הנגזרת הראשונה מוגדרת כש־−2<x<2\displaystyle -2<x<2: בקצוות ±2\displaystyle \pm2 של תחום ההגדרה השורש שבמכנה שלה מתאפס.
  • השנייה מוגדרת כש־x>0\displaystyle x>0: הפונקציה מוגדרת ב־0, והנגזרת שלה לא.
משיק אנכי בקצה התחום

בקצה של תחום ההגדרה שבו שורש מתאפס, לרוב אין לנגזרת ערך, והשיפועים לידו גדלים בלי סוף. בפונקציה f(x)=x\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x}}:

  • f′(x)=12x\displaystyle {f'(x)}={\frac{1}{2\sqrt{x}}}: ב־x=0.01\displaystyle {x}={0.01} השיפוע הוא 5, וב־x=0.0001\displaystyle {x}={0.0001} הוא 50;
  • המשיקים נעשים תלולים יותר ויותר כש־x\displaystyle x מתקרב ל־0, והמשיק בנקודה (0,0)\displaystyle (0,0) הוא ציר ה־y\displaystyle y – משיק אנכי;
  • לגרף של f′\displaystyle f' יש אסימפטוטה אנכית x=0\displaystyle {x}={0}.
f(x)=x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}
g(x)=12x\displaystyle g(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
משוואות עם שורש

פותרים משוואה עם שורש בהעלאה של שני האגפים בריבוע, וההעלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרונות: גם a=b\displaystyle {a}={b} וגם a=−b\displaystyle {a}={-b} נותנים a2=b2\displaystyle {a^2}={b^2}. לכן בודקים כל פתרון של המשוואה שבריבוע במשוואה המקורית. בדוגמה שלפניכם נפתור את x+3=x+1\displaystyle {\sqrt{x+3}}={x+1}:

  • העלאה בריבוע: x+3=x2+2x+1\displaystyle {x+3}={x^2+2x+1}, כלומר x2+x−2=0\displaystyle {x^2+x-2}={0}, ולכן x=1\displaystyle {x}={1} או x=−2\displaystyle {x}={-2};
  • x=1\displaystyle {x}={1}: 4=2\displaystyle {\sqrt{4}}={2} וגם 1+1=2\displaystyle {1+1}={2} – פתרון;
  • x=−2\displaystyle {x}={-2}: 1=1\displaystyle {\sqrt{1}}={1} אבל −2+1=−1\displaystyle {-2+1}={-1} – לא פתרון: זה פתרון של x+3=−(x+1)\displaystyle {\sqrt{x+3}}={-(x+1)}.

בדיקה קצרה יותר: השורש אף פעם לא שלילי, ולכן בפתרון חייב להתקיים x+1≥0\displaystyle x+1\geq0.

הכנסת x\displaystyle x לתוך השורש

נועם חקר את f(x)=x4−x2\displaystyle {f(x)}={x\sqrt{4-x^2}}. כדי לחסוך את נגזרת המכפלה הוא כתב f(x)=x2(4−x2)=4x2−x4\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x^2(4-x^2)}}={\sqrt{4x^2-x^4}}, ובסקיצה שלו לא היו ערכים שליליים בכלל. הצעד נכון רק כש־x≥0\displaystyle x\geq0:

  • x2(4−x2)=∣x∣4−x2\displaystyle {\sqrt{x^2(4-x^2)}}={|x|\sqrt{4-x^2}}, כי x2=∣x∣\displaystyle {\sqrt{x^2}}={|x|};
  • כש־x<0\displaystyle x<0, x4−x2\displaystyle x\sqrt{4-x^2} שלילי, ו־4x2−x4\displaystyle \sqrt{4x^2-x^4} לא;
  • לכן 4x2−x4\displaystyle \sqrt{4x^2-x^4} היא פונקציה אחרת: הגרף שלה הוא הגרף של f\displaystyle f, כשהחלק שמשמאל לציר ה־y\displaystyle y מתהפך אל מעל ציר ה־x\displaystyle x.
תרגיל 1

גזרו, והביאו כל נגזרת למכנה אחד.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        נתונה המשוואה 2x+7=x+2\displaystyle {\sqrt{2x+7}}={x+2}.

        א

        העלו את שני האגפים בריבוע, ופתרו את המשוואה שקיבלתם.

          ב

          בדקו כל פתרון במשוואה המקורית, וכתבו כאן רק את הפתרונות של המשוואה המקורית.

            תרגיל 3

            נתונה הפונקציה f(x)=xx+3\displaystyle {f(x)}={x\sqrt{x+3}}.
            הנקודה (1,2)\displaystyle (1,2) נמצאת על הגרף שלה.

            א

            חשבו את שיפוע המשיק בנקודה (1,2)\displaystyle (1,2).

            f(x)=xx+3\displaystyle f(x)=x\sqrt{x+3}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              כתבו את משוואת המשיק בלוח.

              f(x)=xx+3\displaystyle f(x)=x\sqrt{x+3}
              (1,2)\displaystyle (1,2)

              תרגיל 4

              נתונה הפונקציה f(x)=9−x2\displaystyle {f(x)}={\sqrt{9-x^2}}.

              א

              מצאו את f′(x)\displaystyle f'(x).

              f(x)=9−x2\displaystyle f(x)=\sqrt{9-x^{2}}

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                מה קורה ל־f′(x)\displaystyle f'(x) כש־x\displaystyle x מתקרב ל־3 משמאל?
                מהו המשיק לגרף בנקודה (3,0)\displaystyle (3,0)?

                תרגיל 5

                דנה כתבה: x2−6x+9=x−3\displaystyle {\sqrt{x^2-6x+9}}={x-3}.
                לאילו ערכים של x\displaystyle x זה נכון? הסבירו בעזרת m2=∣m∣\displaystyle {\sqrt{m^2}}={|m|}.