פונקציות עם שורשים: תחום הגדרה ואסימפטוטות

לשורש ריבועי יש ערך רק כשהביטוי שמתחתיו אינו שלילי, ולשבר – רק כשהמכנה שלו שונה מ־0. פונקציה עם שורשים מוגדרת איפה שכל החלקים שלה מוגדרים:

• $\displaystyle {f(x)}={\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}}$: $\displaystyle x+2\geq0$ וגם $\displaystyle x\neq1$, כלומר $\displaystyle x\geq-2$, $\displaystyle x\neq1$;
• $\displaystyle {g(x)}={\sqrt{x}+\sqrt{4-x}}$: $\displaystyle x\geq0$ וגם $\displaystyle 4-x\geq0$, כלומר $\displaystyle 0\leq x\leq4$ – קטע סגור עם שני קצוות;
• $\displaystyle {h(x)}={\sqrt{x^2-4}}$: $\displaystyle x^2-4\geq0$, כלומר $\displaystyle x\leq-2$ או $\displaystyle x\geq2$ – שני חלקים ורווח ביניהם;
• $\displaystyle {k(x)}={\frac{1}{\sqrt{x-1}}}$: השורש במכנה חייב להיות חיובי, ולכן $\displaystyle x>1$.

פונקציה רציונלית מוגדרת בכל מקום חוץ מכמה נקודות; פונקציה עם שורש יכולה להיות מוגדרת רק בקטע, והגרף שלה נגמר בקצוות של הקטע.

השורש הריבועי אף פעם לא שלילי, ולכן השורש של ריבוע הוא הערך המוחלט:

למשל, $\displaystyle {\sqrt{(-3)^2}}={\sqrt{9}}={3}={|-3|}$, ולא $\displaystyle -3$. לכן כש־$\displaystyle |x|$ גדול, $\displaystyle \sqrt{x^2+1}$ קרוב ל־$\displaystyle |x|$: ל־$\displaystyle x$ מימין, ול־$\displaystyle -x$ משמאל.

מכיוון ש־$\displaystyle {\sqrt{x^2}}={|x|}$, פונקציה עם שורש יכולה להתקרב לישר אחד רחוק מימין ולישר אחר רחוק משמאל. בדוגמה שלפניכם נמצא את האסימפטוטות של $\displaystyle {f(x)}={\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$:

• כש־$\displaystyle x$ חיובי וגדול, $\displaystyle \sqrt{x^2+1}$ קרוב ל־$\displaystyle x$, ולכן $\displaystyle f(x)$ קרוב ל־$\displaystyle {\frac{x}{x}}={1}$: האסימפטוטה $\displaystyle {y}={1}$ כש־$\displaystyle x\to\infty$;
• כש־$\displaystyle x$ שלילי וגדול בערכו המוחלט, $\displaystyle \sqrt{x^2+1}$ קרוב ל־$\displaystyle -x$, ולכן $\displaystyle f(x)$ קרוב ל־$\displaystyle {\frac{x}{-x}}={-1}$: האסימפטוטה $\displaystyle {y}={-1}$ כש־$\displaystyle x\to-\infty$.

לפונקציה יכולה להיות גם אסימפטוטה אופקית בצד אחד, ובצד השני היא גדלה בלי סוף. בדוגמה שלפניכם נראה זאת בפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x^2+4}-x}$:

• כש־$\displaystyle x\to\infty$ שני המחוברים גדלים, ולא רואים מיד מה קורה להפרש; כפל וחילוק ב־$\displaystyle \sqrt{x^2+4}+x$ נותנים $\displaystyle {f(x)}={\frac{(x^2+4)-x^2}{\sqrt{x^2+4}+x}}={\frac{4}{\sqrt{x^2+4}+x}}$, שמתקרב ל־0: האסימפטוטה $\displaystyle {y}={0}$ מימין;
• כש־$\displaystyle x\to-\infty$, $\displaystyle \sqrt{x^2+4}$ גדל וגם $\displaystyle -x$ גדל: $\displaystyle f(x)$ גדל בלי סוף, ואין אסימפטוטה משמאל.

שורש במכנה מתאפס בקצה של תחום ההגדרה, ולכן הפונקציה יכולה לגדול שם בלי סוף – אבל רק מצד אחד, הצד של התחום. בפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{\sqrt{x-1}}}$:

• תחום ההגדרה הוא $\displaystyle x>1$;
• קצת מימין ל־1 המכנה מספר חיובי קטן: $\displaystyle f(x)$ גדל בלי סוף, ו־$\displaystyle {x}={1}$ היא אסימפטוטה אנכית;
• כש־$\displaystyle x\to\infty$, $\displaystyle f(x)$ מתקרב ל־0: האסימפטוטה $\displaystyle {y}={0}$.

מצאו את תחום ההגדרה של כל פונקציה.

$\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x^2-x-6}}$

$\displaystyle {g(x)}={\sqrt{\frac{x+2}{x-3}}}$

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}}$.

כתבו בלוח את המשוואות של שתי האסימפטוטות האופקיות שלה.

לאיזו אסימפטוטה הגרף מתקרב רחוק מימין, ולאיזו רחוק משמאל? הסבירו בעזרת $\displaystyle {\sqrt{x^2}}={|x|}$.

בכל לוח מופיע הגרף של אחת מהפונקציות האלה:

• $\displaystyle {f_1(x)}={\sqrt{4-x^2}}$
• $\displaystyle {f_2(x)}={x\sqrt{4-x^2}}$
• $\displaystyle {f_3(x)}={\sqrt{x^2-4}}$
• $\displaystyle {f_4(x)}={\frac{\sqrt{x^2-4}}{x^2}}$

החליטו לפי תחום ההגדרה, הסימן והאסימפטוטות, וכתבו את הפונקציה בלוח.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sqrt{x^2+2x}-x}$.

מצאו את תחום ההגדרה של $\displaystyle f$.

$\displaystyle {f(x)}={\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}}$ כש־$\displaystyle x>0$.
כתבו בלוח את משוואת האסימפטוטה שהגרף מתקרב אליה רחוק מימין.

מה עושה $\displaystyle f(x)$ כש־$\displaystyle x\to-\infty$? הסבירו.