דלג לתוכן

הגרף של √f(x) לפי הגרף של f

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 16 מתוך 26לימוד

הגרף של √f(x) לפי הגרף של f

מה f(x)\displaystyle \sqrt{f(x)} לוקחת מ־f\displaystyle f

אפשר לשרטט את הגרף של g(x)=f(x)\displaystyle {g(x)}={\sqrt{f(x)}} לפי הגרף של f\displaystyle f בלבד, כי כל תכונה של g\displaystyle g באה מתכונה של f\displaystyle f:

  • תחום ההגדרה: f(x)≥0\displaystyle f(x)\geq0 – החלקים של הגרף של f\displaystyle f שעל ציר ה־x\displaystyle x או מעליו;
  • נקודות האפס: אלה של f\displaystyle f;
  • עלייה וירידה: הסימן של g′(x)=f′(x)2f(x)\displaystyle {g'(x)}={\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}} הוא הסימן של f′(x)\displaystyle f'(x) בכל מקום שבו f(x)>0\displaystyle f(x)>0, ולכן g\displaystyle g עולה ויורדת איפה ש־f\displaystyle f עולה ויורדת, ונקודות הקיצון שלה באותם ערכי x\displaystyle x (בתוך תחום ההגדרה שלה);
  • משיקים אנכיים: בנקודת אפס שבה הגרף של f\displaystyle f חוצה את הציר, g′\displaystyle g' גדלה בלי סוף – המשיק ל־g\displaystyle g שם אנכי;
  • מעל f\displaystyle f או מתחתיה: כש־f(x)>1\displaystyle f(x)>1, f(x)<f(x)\displaystyle \sqrt{f(x)}<f(x); כש־0<f(x)<1\displaystyle 0<f(x)<1, f(x)>f(x)\displaystyle \sqrt{f(x)}>f(x); כש־f(x)\displaystyle f(x) שווה 0 או 1 הגרפים נפגשים;
  • אסימפטוטות: כש־f(x)\displaystyle f(x) מתקרב ל־b>0\displaystyle b>0, g(x)\displaystyle g(x) מתקרב ל־b\displaystyle \sqrt{b}.
דוגמה: ל־f\displaystyle f מקסימום מעל הציר

בדוגמה שלפניכם נשרטט את g(x)=4+3x−x2\displaystyle {g(x)}={\sqrt{4+3x-x^2}} לפי הפרבולה f(x)=4+3x−x2\displaystyle {f(x)}={4+3x-x^2} (המקווקוות):

  • f(x)=−(x+1)(x−4)\displaystyle {f(x)}={-(x+1)(x-4)} אינה שלילית כש־−1≤x≤4\displaystyle -1\leq x\leq4: זה תחום ההגדרה של g\displaystyle g;
  • נקודות האפס (−1,0)\displaystyle (-1,0) ו־(4,0)\displaystyle (4,0), ובהן משיקים אנכיים;
  • ל־f\displaystyle f יש מקסימום ב־x=1.5\displaystyle {x}={1.5}, ו־f(1.5)=6.25\displaystyle {f(1.5)}={6.25}, ולכן ל־g\displaystyle g יש מקסימום בנקודה (1.5,6.25)=(1.5,2.5)\displaystyle {(1.5,\sqrt{6.25})}={(1.5,2.5)};
  • הקצוות (−1,0)\displaystyle (-1,0) ו־(4,0)\displaystyle (4,0) הם נקודות מינימום בקצה.
f(x)=4+3x−x2\displaystyle f(x)=4+3x-x^{2}
g(x)=4+3x−x2\displaystyle g(x)=\sqrt{4+3x-x^{2}}
(1.5,2.5)\displaystyle (1.5,2.5)
דוגמה: ל־f\displaystyle f מינימום מתחת לציר

כשנקודת הקיצון של f\displaystyle f נמצאת איפה ש־f\displaystyle f שלילית, g\displaystyle g לא מקבלת אותה. בפונקציות f(x)=x2−4\displaystyle {f(x)}={x^2-4} ו־g(x)=x2−4\displaystyle {g(x)}={\sqrt{x^2-4}}:

  • תחום ההגדרה של g\displaystyle g: x≤−2\displaystyle x\leq-2 או x≥2\displaystyle x\geq2;
  • המינימום של f\displaystyle f ב־x=0\displaystyle {x}={0} מחוץ לתחום: אין ל־g\displaystyle g נקודת קיצון בתוך התחום שלה;
  • (−2,0)\displaystyle (-2,0) ו־(2,0)\displaystyle (2,0) הן נקודות מינימום בקצה, ובהן משיקים אנכיים.
f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^{2}-4
g(x)=x2−4\displaystyle g(x)=\sqrt{x^{2}-4}
תרגיל 1

בלוח מופיעה f(x)=x2−2x−3\displaystyle {f(x)}={x^2-2x-3}.
גם g(x)=f(x)\displaystyle {g(x)}={\sqrt{f(x)}} נמצאת בלוח, מוסתרת: הנקודה שלה מציגה אותה.

א

מצאו את תחום ההגדרה של g\displaystyle g.

    ב

    סמנו את נקודות האפס של g\displaystyle g, ואחר כך הציגו את הגרף שלה.

    f(x)=x2−2x−3\displaystyle f(x)=x^{2}-2x-3
    g(x)=x2−2x−3\displaystyle g(x)=\sqrt{x^{2}-2x-3}

    ג

    ל־f\displaystyle f יש נקודת מינימום ב־x=1\displaystyle {x}={1}.
    למה אין ל־g\displaystyle g נקודה שם? מהן נקודות הקיצון של g\displaystyle g?

    תרגיל 2

    בלוח מופיעה f(x)=−x2+6x−5\displaystyle {f(x)}={-x^2+6x-5}.
    g(x)=f(x)\displaystyle {g(x)}={\sqrt{f(x)}} מוסתרת בו.

    א

    מצאו את תחום ההגדרה של g\displaystyle g.

      ב

      סמנו את נקודות האפס של g\displaystyle g ואת נקודת הקיצון שלה בתוך התחום, לפי הגרף של f\displaystyle f; אחר כך הציגו את הגרף של g\displaystyle g.

      f(x)=−x2+6x−5\displaystyle f(x)=-x^{2}+6x-5
      g(x)=−x2+6x−5\displaystyle g(x)=\sqrt{-x^{2}+6x-5}

      ג

      כתבו את כל נקודות הקיצון של g\displaystyle g ואת הסוג שלהן.
      איפה הגרף של g\displaystyle g מעל הגרף של f\displaystyle f?

      תרגיל 3

      בלוח מופיעה f(x)=4x2+1\displaystyle {f(x)}={\frac{4}{x^2+1}}.
      g(x)=f(x)\displaystyle {g(x)}={\sqrt{f(x)}} מוסתרת בו.

      א

      סמנו את נקודת הקיצון של g\displaystyle g, ואחר כך הציגו את הגרף שלה.

      f(x)=4x2+1\displaystyle f(x)=\frac{4}{x^{2}+1}
      g(x)=4x2+1\displaystyle g(x)=\sqrt{\frac{4}{x^{2}+1}}

      ב

      הגרף של g\displaystyle g מעל הגרף של f\displaystyle f כש־0<f(x)<1\displaystyle 0<f(x)<1.
      פתרו את אי־השוויון f(x)<1\displaystyle f(x)<1.

        ג

        מהי האסימפטוטה של g\displaystyle g? איפה הגרפים של f\displaystyle f ושל g\displaystyle g נפגשים?