הנגזרת השנייה וסוג הקיצון

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 5 מתוך 26לימוד

הנגזרת השנייה וסוג הקיצון

סוג הקיצון לפי

\displaystyle f''

בנקודה $\displaystyle x_0$ שבה $\displaystyle {f'(x_0)}={0}$ , הסימן של הנגזרת השנייה קובע את סוג הקיצון:

\displaystyle f'(x_0)

\displaystyle =

\displaystyle 0,\ f''(x_0)>0

– נקודת מינימום.

\displaystyle f'(x_0)

\displaystyle =

\displaystyle 0,\ f''(x_0)<0

– נקודת מקסימום.

הסיבה: אם $\displaystyle f''(x_0)>0$ , הנגזרת $\displaystyle f'$ עולה סביב $\displaystyle x_0$ . היא עוברת דרך 0, ולכן היא שלילית משמאל ל־ $\displaystyle x_0$ וחיובית מימין לו – הפונקציה יורדת ואז עולה. בלשון הקעירות: הגרף קעור כלפי מעלה, ובנקודה שבה המשיק אופקי הגרף מעל המשיק – מינימום.

דוגמה:

\displaystyle x^3-3x+1

בדוגמה שלפניכם נקבע את סוג נקודות הקיצון של $\displaystyle {f(x)}={x^3-3x+1}$ בעזרת $\displaystyle f''$ :

$\displaystyle {f'(x)}={3x^2-3}$ , ו־ $\displaystyle {f'(x)}={0}$ כש־ $\displaystyle {x}={1}$ או $\displaystyle {x}={-1}$ .
$\displaystyle {f''(x)}={6x}$ .
$\displaystyle {f''(1)}={6>0}$ : ב־ $\displaystyle {x}={1}$ מינימום, $\displaystyle {f(1)}={-1}$ .
$\displaystyle {f''(-1)}={-6<0}$ : ב־ $\displaystyle {x}={-1}$ מקסימום, $\displaystyle {f(-1)}={3}$ .

אין צורך בטבלת סימנים של $\displaystyle f'$ : מספיק להציב את הנקודות ב־ $\displaystyle f''$ .

\displaystyle f(x)=x^{3}-3x+1

\displaystyle A=(-1,3)

\displaystyle B=(1,-1)

כש־

\displaystyle {f''(x_0)}={0}

המשפט עובד רק בכיוון אחד: הוא אומר מה נובע מהסימן של $\displaystyle f''$ , אבל בנקודת מינימום $\displaystyle f''$ לא חייבת להיות חיובית. כש־ $\displaystyle {f'(x_0)}={0}$ וגם $\displaystyle {f''(x_0)}={0}$ , אי אפשר להסיק מה סוג הנקודה. בלוח שלפניכם שלוש פונקציות שבכל אחת מהן $\displaystyle {f'(0)}={0}$ ו־ $\displaystyle {f''(0)}={0}$ :

\displaystyle f(x)=x^{4}

\displaystyle g(x)=-x^{4}

\displaystyle h(x)=x^{3}

$\displaystyle {f(x)}={x^4}$ – מינימום ב־ $\displaystyle (0,0)$ .
$\displaystyle {g(x)}={-x^4}$ – מקסימום ב־ $\displaystyle (0,0)$ .
$\displaystyle {h(x)}={x^3}$ – אין קיצון: נקודת פיתול אופקית.

במקרה כזה קובעים את הסוג בדרך אחרת – לפי טבלת הסימנים של $\displaystyle f'$ .

דרכים לקבוע את סוג הקיצון

יש כמה דרכים לקבוע את סוג נקודת הקיצון, ובוחרים את הנוחה ביותר:

טבלת סימנים של $\displaystyle f'$ : מ־+ ל־− – מקסימום, מ־− ל־+ – מינימום. עובדת תמיד.
הסימן של $\displaystyle f''$ בנקודה: נוחה כש־ $\displaystyle f''$ קלה לחישוב; לא עונה כש־ $\displaystyle {f''(x_0)}={0}$ .
ערכים של $\displaystyle f$ : משווים את $\displaystyle f(x_0)$ לערכים של $\displaystyle f$ בנקודות קרובות משני הצדדים.
גרף הנגזרת: גרף $\displaystyle f'$ חוצה את ציר ה־ $\displaystyle x$ מלמטה למעלה – מינימום, מלמעלה למטה – מקסימום.

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={2x^3-9x^2+12x}$ .
הנגזרת שלה היא $\displaystyle {f'(x)}={6x^2-18x+12}$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

$\displaystyle {f''(x)}={12x-18}$ .
חשבו את $\displaystyle f''$ בשתי הנקודות שמצאתם.

$\displaystyle f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

$\displaystyle f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x$

סמנו על הגרף את נקודות הקיצון.

\displaystyle f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x

כתבו את הסוג של כל נקודת קיצון, לפי הסימן של $\displaystyle f''$ .

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x+\frac{4}{x}}$ .
הנגזרת שלה היא $\displaystyle {f'(x)}={1-\frac{4}{x^2}}$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x+\frac{4}{x}$

חשבו את $\displaystyle f''$ בשתי הנקודות שמצאתם.

$\displaystyle f(x)=x+\frac{4}{x}$

כתבו את נקודות הקיצון ואת הסוג של כל אחת.
ערך המקסימום קטן מערך המינימום. איך זה מתאים לגרף?

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^5-5x^4}$ .
הנגזרת שלה היא $\displaystyle {f'(x)}={5x^4-20x^3}={5x^3(x-4)}$ .

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ .

$\displaystyle {f''(x)}={20x^3-60x^2}$ .
חשבו את $\displaystyle f''(4)$ ואת $\displaystyle f''(0)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{5}-5x^{4}$

מה סוג הקיצון ב־ $\displaystyle {x}={4}$ ?
ב־ $\displaystyle {x}={0}$ הנגזרת השנייה לא עוזרת. בנו טבלת סימנים של $\displaystyle f'$ , וקבעו מה יש ב־ $\displaystyle {x}={0}$ .

תרגיל 4

נתונה משפחת הפונקציות $\displaystyle {f(x)}={x^3-ax^2+3x}$ , ו־ $\displaystyle a$ פרמטר.
הנגזרת היא $\displaystyle {f'(x)}={3x^2-2ax+3}$ .

לפונקציה יש שתי נקודות קיצון כשלמשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ יש שני פתרונות, כלומר כשהדיסקרימיננטה $\displaystyle 4a^2-36$ חיובית.
פתרו את אי־השוויון.

מה קורה כש־ $\displaystyle {a}={3}$ ? ומה קורה כש־ $\displaystyle -3<a<3$ ?
בכל מקרה כתבו כמה נקודות קיצון יש לפונקציה, ואם יש לה פיתול אופקי.

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

כללי גזירה ומשוואת המשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$

הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת
$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(f'(x)\right)'$
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ( $\displaystyle \cup$ )
$\displaystyle f''(x)>0$
הפונקציה קעורה כלפי מטה ( $\displaystyle \cap$ )
$\displaystyle f''(x)<0$
נקודה חשודה כנקודת פיתול – בודקים שהסימן של $\displaystyle f''$ מתחלף בה
$\displaystyle f''(x_0)=0$
נקודת מינימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0$
נקודת מקסימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0$
התאוצה – הנגזרת של המהירות
$\displaystyle a(t)=v'(t)=s''(t)$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle f(x)$ גדל או קטן בלי סוף כש־ $\displaystyle x$ מתקרב ל־ $\displaystyle a$
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle f(x)$ מתקרב ל־ $\displaystyle b$ כש־ $\displaystyle x\to\infty$ או כש־ $\displaystyle x\to-\infty$
$\displaystyle y=b$

שורשים

שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

רדיאנים ומחזוריות

חצי סיבוב ברדיאנים
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים במעגל שרדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
המחזור של $\displaystyle \sin x$ ושל $\displaystyle \cos x$ הוא $\displaystyle 2\pi$
$\displaystyle \sin(x+2\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x$
המחזור של $\displaystyle \tan x$ הוא $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \tan(x+\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan x$
הגבול שממנו נגזרת הנגזרת של $\displaystyle \sin x$ ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

זהויות טריגונומטריות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
סינוס – פונקציה אי־זוגית
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
קוסינוס – פונקציה זוגית
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
סינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
קוסינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
קוסינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
הפרש סינוסים
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
סינוס של סכום ושל הפרש זוויות
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

נגזרת של סינוס ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle (\sin x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x$
נגזרת של קוסינוס
$\displaystyle (\cos x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin x$
נגזרת של טנגנס
$\displaystyle (\tan x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}$