הנגזרת השנייה וקעירות

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 3 מתוך 26לימוד

הנגזרת השנייה וקעירות

הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה של $\displaystyle f$ היא הנגזרת של הנגזרת שלה – קצב השינוי של השיפוע:

\displaystyle f''(x)

\displaystyle =

\displaystyle \left(f'(x)\right)'

למשל, ל־ $\displaystyle {f(x)}={x^3-5x}$ :

$\displaystyle {f'(x)}={3x^2-5}$ ;
$\displaystyle {f''(x)}={6x}$ .

הסימן של

\displaystyle f''

והקעירות

$\displaystyle f''$ היא הנגזרת של $\displaystyle f'$ , ולכן הסימן שלה אומר אם $\displaystyle f'$ עולה או יורדת – וזו בדיוק הקעירות של $\displaystyle f$ :

\displaystyle f''(x)>0

– $\displaystyle f'$ עולה, ו־ $\displaystyle f$ קעורה כלפי מעלה ( $\displaystyle \cup$ ).

\displaystyle f''(x)<0

– $\displaystyle f'$ יורדת, ו־ $\displaystyle f$ קעורה כלפי מטה ( $\displaystyle \cap$ ).

כדי למצוא את תחומי הקעירות פותרים את אי־השוויונות $\displaystyle f''(x)>0$ ו־ $\displaystyle f''(x)<0$ , כמו שמוצאים תחומי עלייה וירידה לפי $\displaystyle f'$ .

דוגמה:

\displaystyle x^3-4x^2-3x+7

בדוגמה שלפניכם נמצא את תחומי הקעירות של $\displaystyle {f(x)}={x^3-4x^2-3x+7}$ :

$\displaystyle {f'(x)}={3x^2-8x-3}$ .
$\displaystyle {f''(x)}={6x-8}$ .
$\displaystyle f''(x)>0$ כש־ $\displaystyle x>\frac{4}{3}$ , ו־ $\displaystyle f''(x)<0$ כש־ $\displaystyle x<\frac{4}{3}$ .

\displaystyle f(x)=x^{3}-4x^{2}-3x+7

$\displaystyle f$ קעורה כלפי מטה כש־ $\displaystyle x<\frac{4}{3}$ , וקעורה כלפי מעלה כש־ $\displaystyle x>\frac{4}{3}$ .
נקודת המקסימום, $\displaystyle {x}={-\frac{1}{3}}$ , נמצאת בתחום הקעירות כלפי מטה, ונקודת המינימום, $\displaystyle {x}={3}$ , בתחום הקעירות כלפי מעלה.

דוגמה:

\displaystyle x^4-6x^2

בדוגמה שלפניכם נמצא את תחומי הקעירות של $\displaystyle {f(x)}={x^4-6x^2}$ :

$\displaystyle {f'(x)}={4x^3-12x}$ .
$\displaystyle {f''(x)}={12x^2-12}={12(x-1)(x+1)}$ .

$\displaystyle x$	$\displaystyle x<-1$	$\displaystyle -1<x<1$	$\displaystyle x>1$
$\displaystyle f''(x)$	+	−	+
$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle \cup$	$\displaystyle \cap$	$\displaystyle \cup$

\displaystyle f(x)=x^{4}-6x^{2}

$\displaystyle f$ קעורה כלפי מעלה כש־ $\displaystyle x<-1$ וכש־ $\displaystyle x>1$ , וקעורה כלפי מטה כש־ $\displaystyle -1<x<1$ .
הגרף מחליף את כיוון ההתכופפות פעמיים: ב־ $\displaystyle {x}={-1}$ וב־ $\displaystyle {x}={1}$ .

תרגיל 1

מצאו את הנגזרת השנייה של כל פונקציה.

$\displaystyle f(x)=x^{3}-6x^{2}+5$

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

$\displaystyle f(x)=x^{4}+2x^{3}$

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^4+2x^3-12x^2}$ .

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ .

$\displaystyle f(x)=x^{4}+2x^{3}-12x^{2}$

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f''(x)>0$ .

כתבו את תחומי הקעירות של $\displaystyle f$ : איפה היא קעורה כלפי מעלה, ואיפה כלפי מטה?

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\frac{1}{x}}$ .
הנגזרת השנייה שלה היא $\displaystyle {f''(x)}={\frac{2}{x^3}}$ .

פתרו את אי־השוויון $\displaystyle f''(x)>0$ .

כתבו את תחומי הקעירות של $\displaystyle f$ .
הקעירות מתחלפת ב־ $\displaystyle {x}={0}$ . מה מיוחד בנקודה הזאת?

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x^3+ax^2}$ , ו־ $\displaystyle a$ פרמטר.
הפונקציה קעורה כלפי מטה כש־ $\displaystyle x<2$ , וקעורה כלפי מעלה כש־ $\displaystyle x>2$ .

מצאו את $\displaystyle f''(x)$ , בעזרת $\displaystyle a$ .

$\displaystyle f(x)=x^{3}+ax^{2}$

הסימן של $\displaystyle f''$ מתחלף ב־ $\displaystyle {x}={2}$ , ולכן $\displaystyle {f''(2)}={0}$ .
פתרו את המשוואה ומצאו את $\displaystyle a$ .

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

כללי גזירה ומשוואת המשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$

הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת
$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(f'(x)\right)'$
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ( $\displaystyle \cup$ )
$\displaystyle f''(x)>0$
הפונקציה קעורה כלפי מטה ( $\displaystyle \cap$ )
$\displaystyle f''(x)<0$
נקודה חשודה כנקודת פיתול – בודקים שהסימן של $\displaystyle f''$ מתחלף בה
$\displaystyle f''(x_0)=0$
נקודת מינימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0$
נקודת מקסימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0$
התאוצה – הנגזרת של המהירות
$\displaystyle a(t)=v'(t)=s''(t)$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle f(x)$ גדל או קטן בלי סוף כש־ $\displaystyle x$ מתקרב ל־ $\displaystyle a$
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle f(x)$ מתקרב ל־ $\displaystyle b$ כש־ $\displaystyle x\to\infty$ או כש־ $\displaystyle x\to-\infty$
$\displaystyle y=b$

שורשים

שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

רדיאנים ומחזוריות

חצי סיבוב ברדיאנים
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים במעגל שרדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
המחזור של $\displaystyle \sin x$ ושל $\displaystyle \cos x$ הוא $\displaystyle 2\pi$
$\displaystyle \sin(x+2\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x$
המחזור של $\displaystyle \tan x$ הוא $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \tan(x+\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan x$
הגבול שממנו נגזרת הנגזרת של $\displaystyle \sin x$ ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

זהויות טריגונומטריות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
סינוס – פונקציה אי־זוגית
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
קוסינוס – פונקציה זוגית
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
סינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
קוסינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
קוסינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
הפרש סינוסים
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
סינוס של סכום ושל הפרש זוויות
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

נגזרת של סינוס ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle (\sin x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x$
נגזרת של קוסינוס
$\displaystyle (\cos x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin x$
נגזרת של טנגנס
$\displaystyle (\tan x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}$