הנגזרות של הפונקציות הטריגונומטריות

כש־$\displaystyle x$ ברדיאנים ומתקרב ל־0, המנה $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ מתקרבת ל־1: לזווית קטנה, הסינוס שלה כמעט שווה לזווית עצמה.

הסיבה, במעגל היחידה, כש־$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$:

• הקשת שמול הזווית $\displaystyle x$ אורכה $\displaystyle x$, והאנך מקצה הקשת לציר ה־$\displaystyle x$ אורכו $\displaystyle \sin x$ – קצר מהקשת: $\displaystyle \sin x<x$.
• המשיק למעגל בנקודה $\displaystyle (1,0)$, עד הקרן של הזווית, אורכו $\displaystyle \tan x$, ושטח המשולש שהוא סוגר גדול משטח הגזרה: $\displaystyle \frac{\tan x}{2}>\frac{x}{2}$, כלומר $\displaystyle x<\tan x$.
• מ־$\displaystyle \sin x<x<\frac{\sin x}{\cos x}$ מתקבל $\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1$. כש־$\displaystyle x\to0$, $\displaystyle \cos x\to1$, ולכן גם המנה שבאמצע מתקרבת ל־1.
• $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ זוגית, ולכן כך גם כש־$\displaystyle x$ מתקרב ל־0 מהצד השלילי.

בהוכחה שלפניכם נחשב את הנגזרת של $\displaystyle \sin x$ לפי ההגדרה, בעזרת זהות מדף הנוסחאות:

• עם $\displaystyle {\alpha}={x+h}$ ו־$\displaystyle {\beta}={x}$: $\displaystyle {\sin(x+h)-\sin x}={2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2}}$.
• נחלק ב־$\displaystyle h$: $\displaystyle {\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}}={\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\cdot\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}}$.
• כש־$\displaystyle h\to0$: $\displaystyle \cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\to\cos x$, ו־$\displaystyle \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\to1$ לפי הגבול שלמעלה.

הנוסחה מתאימה לגרפים: איפה ש־$\displaystyle \sin x$ עולה הכי מהר (ב־$\displaystyle {x}={0}$) $\displaystyle \cos x$ הכי גדול, ובנקודות הקיצון של $\displaystyle \sin x$ ($\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}+\pi k}$) $\displaystyle {\cos x}={0}$.

הגבול $\displaystyle \frac{\sin x}{x}\to1$ נכון רק כשהזווית ברדיאנים: הוא בא מכך שאורך הקשת במעגל היחידה שווה לזווית.

• סינוס של $\displaystyle x$ מעלות הוא $\displaystyle \sin\frac{\pi x}{180}$. לפי כלל השרשרת הנגזרת שלו היא $\displaystyle \frac{\pi}{180}\cos\frac{\pi x}{180}$ – עם גורם $\displaystyle \frac{\pi}{180}$ מיותר.
• לכן בחשבון דיפרנציאלי $\displaystyle x$ תמיד ברדיאנים, ו־$\displaystyle {(\sin x)'}={\cos x}$ בלי שום מקדם.

שתי הנגזרות האחרות נובעות מהנגזרת של $\displaystyle \sin x$:

• $\displaystyle {\cos x}={\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$. לפי כלל השרשרת: $\displaystyle {(\cos x)'}={\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cdot(-1)}={-\sin x}$.
• $\displaystyle {\tan x}={\frac{\sin x}{\cos x}}$. לפי נגזרת של מנה: $\displaystyle {(\tan x)'}={\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}}={\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}}={\frac{1}{\cos^2x}}$.

$\displaystyle (\tan x)'$ חיובית בכל תחום ההגדרה: $\displaystyle \tan x$ עולה בכל קטע בין שתי אסימפטוטות.

עם כלל השרשרת גוזרים פונקציה טריגונומטרית של ביטוי, וביטוי של פונקציה טריגונומטרית:

• $\displaystyle {(\sin3x)'}={\cos3x\cdot3}={3\cos3x}$.
• $\displaystyle {(\cos^2x)'}={2\cos x\cdot(-\sin x)}={-2\sin x\cos x}={-\sin2x}$.
• $\displaystyle {\left(\sqrt{\sin x}\right)'}={\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}}$, כש־$\displaystyle \sin x>0$.
• $\displaystyle {\left(\sin(x^2)\right)'}={\cos(x^2)\cdot2x}$ – שימו לב: $\displaystyle \sin(x^2)$ שונה מ־$\displaystyle {\sin^2x}={(\sin x)^2}$.

בדוגמה שלפניכם נמצא את המשיקים לגרף של $\displaystyle {f(x)}={\sin x}$ בנקודות שבהן $\displaystyle {x}={0}$ ו־$\displaystyle {x}={\pi}$:

• ב־$\displaystyle {x}={0}$: $\displaystyle {f(0)}={0}$ ו־$\displaystyle {f'(0)}={\cos0}={1}$, והמשיק $\displaystyle {y}={x}$.
• ב־$\displaystyle {x}={\pi}$: $\displaystyle {f(\pi)}={0}$ ו־$\displaystyle {f'(\pi)}={\cos\pi}={-1}$, והמשיק $\displaystyle {y-0}={-1(x-\pi)}$, כלומר $\displaystyle {y}={\pi-x}$.

ליד $\displaystyle {x}={0}$ הגרף של $\displaystyle \sin x$ כמעט מתלכד עם המשיק $\displaystyle {y}={x}$ – זה שוב הגבול $\displaystyle \frac{\sin x}{x}\to1$.

גזרו.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sin x+\cos x}$.

חשבו את $\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
מה אפשר להסיק על המשיק לגרף בנקודה הזאת?

כתבו בלוח את משוואת המשיק לגרף של $\displaystyle f$ בנקודה שבה $\displaystyle {x}={0}$.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\tan x}$, והנקודה $\displaystyle \left(\frac{\pi}{4},1\right)$ שעל הגרף שלה.

חשבו את שיפוע המשיק בנקודה.

כתבו בלוח את משוואת המשיק.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={x+2\cos x}$ בתחום $\displaystyle 0\leq x\leq2\pi$.
מחפשים את הנקודות שבהן המשיק לגרף מקביל לציר ה־$\displaystyle x$.

מצאו את $\displaystyle f'(x)$.

פתרו את המשוואה $\displaystyle {f'(x)}={0}$ בתחום.

סמנו את הנקודות על הגרף.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sin2x}$.

מצאו את הנגזרת השנייה $\displaystyle f''(x)$.

הראו ש־$\displaystyle {f''(x)}={-4f(x)}$ לכל $\displaystyle x$.
מה אפשר להסיק על הקעירות של $\displaystyle f$ איפה שהיא חיובית?