בעיות ערך קיצון עם פונקציות טריגונומטריות

חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל) שיעור 24 מתוך 26לימוד

בעיות ערך קיצון עם פונקציות טריגונומטריות

זווית כמשתנה

בהרבה בעיות גאומטריות נוח לבחור זווית כמשתנה: כל האורכים נכתבים בעזרת הסינוס והקוסינוס שלה, והגודל שמחפשים הוא פונקציה טריגונומטרית.

הזווית $\displaystyle x$ ברדיאנים, כדי שאפשר יהיה לגזור.
התחום – לפי הצורה, למשל $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ כשהזווית חדה.
$\displaystyle {f'(x)}={0}$ היא משוואה טריגונומטרית, ופותרים אותה בתחום בלבד.
לפעמים לא צריך לגזור: $\displaystyle \sin x\leq1$ ו־ $\displaystyle \cos x\leq1$ , ולכן ביטוי כמו $\displaystyle a\sin x$ הכי גדול כש־ $\displaystyle {\sin x}={1}$ .

דוגמה: משולש שווה שוקיים

אורך השוקיים במשולש שווה שוקיים הוא $\displaystyle a$ , והזווית ביניהן $\displaystyle x$ .
מה השטח הגדול ביותר שיכול להיות למשולש?

בפתרון שלפניכם נכתוב את השטח לפי שתי צלעות והזווית שביניהן, ונמצא את המקסימום בלי לגזור:

$\displaystyle {S(x)}={\frac{1}{2}a\cdot a\cdot\sin x}={\frac{a^2}{2}\sin x}$ , בתחום $\displaystyle 0<x<\pi$ .
$\displaystyle \sin x\leq1$ לכל $\displaystyle x$ , ו־ $\displaystyle {\sin x}={1}$ בתחום רק כש־ $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}}$ .
לכן השטח הגדול ביותר הוא $\displaystyle \frac{a^2}{2}$ , כשהמשולש ישר זווית.

הנגזרת נותנת אותה תשובה: $\displaystyle {S'(x)}={\frac{a^2}{2}\cos x}={0}$ כש־ $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}}$ .

דוגמה: טרפז בחצי עיגול

טרפז חסום בחצי עיגול שרדיוסו 1: הבסיס הגדול שלו הוא הקוטר, ושני הקדקודים האחרים על הקשת.
$\displaystyle x$ – הזווית בין הקוטר לרדיוס אל הקדקוד העליון הימני.
לאיזו זווית $\displaystyle x$ שטח הטרפז הכי גדול? בפתרון שלפניכם נבטא את הבסיס הקטן ואת הגובה בעזרת $\displaystyle x$ :

הקדקוד העליון הימני הוא $\displaystyle (\cos x,\sin x)$ . לכן הגובה $\displaystyle \sin x$ , והבסיס הקטן $\displaystyle 2\cos x$ ; התחום $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ .
$\displaystyle {S(x)}={\frac{2+2\cos x}{2}\cdot\sin x}={(1+\cos x)\sin x}$ .
$\displaystyle {S'(x)}={-\sin x\cdot\sin x+(1+\cos x)\cos x}={\cos x+\cos^2x-\sin^2x}={\cos x+\cos2x}$ .
לפי $\displaystyle {\cos2x}={2\cos^2x-1}$ : $\displaystyle {S'(x)}={2\cos^2x+\cos x-1}={(2\cos x-1)(\cos x+1)}$ .
$\displaystyle \cos x+1>0$ בתחום, ולכן $\displaystyle {S'(x)}={0}$ רק כש־ $\displaystyle {\cos x}={\frac{1}{2}}$ , כלומר $\displaystyle {x}={\frac{\pi}{3}}$ .
לפני $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ , $\displaystyle \cos x>\frac{1}{2}$ ו־ $\displaystyle S'>0$ ; אחריה $\displaystyle S'<0$ : מקסימום.
$\displaystyle {S\left(\frac{\pi}{3}\right)}={\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}={\frac{3\sqrt{3}}{4}\approx1.30}$ .

בטרפז הגדול ביותר הבסיס הקטן שווה לרדיוס, והוא חצי משושה משוכלל.

\displaystyle S(x)=(1+\cos x)\sin x

\displaystyle M=(\frac{\pi}{3},\frac{3\sqrt{3}}{4})

תרגיל 1

מלבן חסום בחצי עיגול שרדיוסו 2: צלע אחת שלו על הקוטר, ושני הקדקודים האחרים על הקשת.
$\displaystyle x$ – הזווית בין הקוטר לרדיוס אל הקדקוד העליון הימני, ולכן הקדקוד הוא $\displaystyle (2\cos x,2\sin x)$ .
שטח המלבן הוא $\displaystyle {S(x)}={2\cdot2\cos x\cdot2\sin x}={8\sin x\cos x}$ , בתחום $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ .

כתבו את $\displaystyle S(x)$ בעזרת $\displaystyle \sin2x$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מצאו בלי לגזור את השטח הגדול ביותר, ואת הזווית שבה הוא מתקבל.

השטח הגדול ביותר

גזרו את $\displaystyle {S(x)}={4\sin2x}$ .

$\displaystyle S(x)=4\sin2x$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {S'(x)}={0}$ בתחום, ובדקו שקיבלתם אותה זווית.

תרגיל 2

גלגל ענק מסתובב סיבוב שלם ב־30 דקות.
גובה הקרון מעל הקרקע, במטרים, אחרי $\displaystyle t$ דקות הוא $\displaystyle {h(t)}={20-18\cos\frac{\pi t}{15}}$ , ו־ $\displaystyle 0\leq t\leq30$ .

מהו הגובה הגדול ביותר של הקרון, ומהו הגובה הקטן ביותר?
מתי הקרון בנקודה הגבוהה ביותר? ענו בלי לגזור.

הגובה הגדול ביותר

הגובה הקטן ביותר

\displaystyle t

בנקודה הגבוהה

מצאו את $\displaystyle h'(t)$ – מהירות העלייה של הקרון.

$\displaystyle h(t)=20-18\cos\frac{\pi t}{15}$

מצאו את $\displaystyle h''(t)$ .

$\displaystyle h(t)=20-18\cos\frac{\pi t}{15}$

הקרון עולה הכי מהר כשהמהירות $\displaystyle h'(t)$ מגיעה למקסימום, כלומר כש־ $\displaystyle {h''(t)}={0}$ .
פתרו את המשוואה בתחום.

חשבו את מהירות העלייה הגדולה ביותר, במטרים לדקה.

$\displaystyle h(t)=20-18\cos\frac{\pi t}{15}$

באיזה גובה נמצא הקרון כשהוא עולה הכי מהר?
מה קורה בפתרון השני של המשוואה?

הגובה

תרגיל 3

חתך של מרזב בנוי מקרקעית ברוחב 10 ס"מ ומשתי דפנות ברוחב 10 ס"מ.
שתי הדפנות נפתחות כלפי חוץ בזווית $\displaystyle x$ מהקו האנכי, ו־ $\displaystyle 0\leq x<\frac{\pi}{2}$ .
ככל ששטח החתך גדול יותר, המרזב מוביל יותר מים.

הראו שגובה החתך $\displaystyle 10\cos x$ , שהרוחב שלו למעלה $\displaystyle 10+20\sin x$ , ושהשטח שלו $\displaystyle {S(x)}={100\cos x(1+\sin x)}$ .

מצאו את $\displaystyle S'(x)$ .

$\displaystyle S(x)=100\cos x(1+\sin x)$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {S'(x)}={0}$ בתחום.

חשבו את שטח החתך הגדול ביותר.

$\displaystyle S(x)=100\cos x(1+\sin x)$

תרגיל 4

אורך האלכסון של מלבן הוא 10.
$\displaystyle x$ – הזווית בין האלכסון לצלע אחת, ולכן הצלעות הן $\displaystyle 10\cos x$ ו־ $\displaystyle 10\sin x$ .
ההיקף הוא $\displaystyle {P(x)}={20\sin x+20\cos x}$ , בתחום $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ .

מצאו את $\displaystyle P'(x)$ .

$\displaystyle P(x)=20\sin x+20\cos x$

פתרו את המשוואה $\displaystyle {P'(x)}={0}$ בתחום.

חשבו את ההיקף הגדול ביותר.

$\displaystyle P(x)=20\sin x+20\cos x$

איזה מלבן קיבלתם?
האם יש למלבן כזה היקף קטן ביותר? הסבירו לפי מה שקורה ל־ $\displaystyle P(x)$ כש־ $\displaystyle x$ מתקרב לקצות התחום.

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

כללי גזירה ומשוואת המשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$

הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת
$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(f'(x)\right)'$
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ( $\displaystyle \cup$ )
$\displaystyle f''(x)>0$
הפונקציה קעורה כלפי מטה ( $\displaystyle \cap$ )
$\displaystyle f''(x)<0$
נקודה חשודה כנקודת פיתול – בודקים שהסימן של $\displaystyle f''$ מתחלף בה
$\displaystyle f''(x_0)=0$
נקודת מינימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0$
נקודת מקסימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0$
התאוצה – הנגזרת של המהירות
$\displaystyle a(t)=v'(t)=s''(t)$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle f(x)$ גדל או קטן בלי סוף כש־ $\displaystyle x$ מתקרב ל־ $\displaystyle a$
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle f(x)$ מתקרב ל־ $\displaystyle b$ כש־ $\displaystyle x\to\infty$ או כש־ $\displaystyle x\to-\infty$
$\displaystyle y=b$

שורשים

שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

רדיאנים ומחזוריות

חצי סיבוב ברדיאנים
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים במעגל שרדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
המחזור של $\displaystyle \sin x$ ושל $\displaystyle \cos x$ הוא $\displaystyle 2\pi$
$\displaystyle \sin(x+2\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x$
המחזור של $\displaystyle \tan x$ הוא $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \tan(x+\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan x$
הגבול שממנו נגזרת הנגזרת של $\displaystyle \sin x$ ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

זהויות טריגונומטריות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
סינוס – פונקציה אי־זוגית
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
קוסינוס – פונקציה זוגית
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
סינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
קוסינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
קוסינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
הפרש סינוסים
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
סינוס של סכום ושל הפרש זוויות
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

נגזרת של סינוס ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle (\sin x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x$
נגזרת של קוסינוס
$\displaystyle (\cos x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin x$
נגזרת של טנגנס
$\displaystyle (\tan x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}$