הפונקציות הטריגונומטריות ברדיאנים

בחשבון הדיפרנציאלי מודדים זוויות ברדיאנים, כמו במעגל היחידה של קורס הטריגונומטריה של כיתה י’: זווית של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים היא זווית מרכזית שנשענת על קשת שאורכה $\displaystyle \alpha$ רדיוסים.

• סיבוב שלם הוא $\displaystyle 2\pi$ רדיאנים, ולכן $\displaystyle \pi$ רדיאנים הם $\displaystyle 180^{\circ}$.
• $\displaystyle {\frac{\pi}{6}}={30^{\circ}}$, $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}={45^{\circ}}$, $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}={60^{\circ}}$, $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}={90^{\circ}}$, $\displaystyle {\frac{3\pi}{2}}={270^{\circ}}$.
• לכל מספר ממשי $\displaystyle x$ יש נקודה על מעגל היחידה: מסובבים $\displaystyle x$ רדיאנים מהחלק החיובי של ציר ה־$\displaystyle x$ (נגד כיוון השעון כש־$\displaystyle x>0$). שיעוריה הם $\displaystyle (\cos x,\sin x)$.

לכן $\displaystyle \sin x$ ו־$\displaystyle \cos x$ הן פונקציות של מספר ממשי – ואפשר לשרטט אותן, לגזור אותן ולחקור אותן כמו כל פונקציה. בכלים של השיעורים מכאן והלאה $\displaystyle x$ ברדיאנים, וציר ה־$\displaystyle x$ בלוחות ממוספר בכפולות של $\displaystyle \pi$.

בלוח שלפניכם הגרפים של $\displaystyle \sin x$, של $\displaystyle \cos x$ ושל $\displaystyle \tan x$ (מקווקו), מ־$\displaystyle -2\pi$ עד $\displaystyle 2\pi$:

• תחום ההגדרה: $\displaystyle \sin x$ ו־$\displaystyle \cos x$ מוגדרות לכל $\displaystyle x$; $\displaystyle {\tan x}={\frac{\sin x}{\cos x}}$ לא מוגדרת כש־$\displaystyle {\cos x}={0}$, כלומר כש־$\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}+\pi k}$ – ושם יש לה אסימפטוטות אנכיות.
• הערכים: $\displaystyle -1\leq\sin x\leq1$ ו־$\displaystyle -1\leq\cos x\leq1$; $\displaystyle \tan x$ מקבלת כל ערך.
• מחזור: $\displaystyle {\sin(x+2\pi)}={\sin x}$ ו־$\displaystyle {\cos(x+2\pi)}={\cos x}$ – המחזור הוא $\displaystyle 2\pi$; המחזור של $\displaystyle \tan x$ הוא $\displaystyle \pi$.
• נקודות אפס: $\displaystyle {\sin x}={0}$ כש־$\displaystyle {x}={\pi k}$; $\displaystyle {\cos x}={0}$ כש־$\displaystyle {x}={\frac{\pi}{2}+\pi k}$ ($\displaystyle k$ שלם).
• זוגיות: $\displaystyle {\cos(-x)}={\cos x}$ – זוגית; $\displaystyle {\sin(-x)}={-\sin x}$ ו־$\displaystyle {\tan(-x)}={-\tan x}$ – אי־זוגיות.
• הגרף של $\displaystyle \cos x$ הוא הגרף של $\displaystyle \sin x$ מוזז $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ שמאלה: $\displaystyle {\cos x}={\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}$.

פונקציה מחזורית חוזרת על עצמה, ולכן מספיק לחקור אותה בתחום של מחזור אחד ולהסיק על כל הישר. מחזור של $\displaystyle f$ הוא מספר $\displaystyle T>0$ שבשבילו $\displaystyle {f(x+T)}={f(x)}$ לכל $\displaystyle x$.

• אם $\displaystyle T$ מחזור, גם $\displaystyle 2T$, $\displaystyle 3T$ … מחזורים. כשאומרים “המחזור” מתכוונים למחזור הקטן ביותר.
• למשל, $\displaystyle 2\pi$ הוא מחזור של $\displaystyle \cos2x$, אבל המחזור הקטן ביותר הוא $\displaystyle \pi$: $\displaystyle {\cos2(x+\pi)}={\cos(2x+2\pi)}={\cos2x}$.

בדוגמה שלפניכם נמצא את המחזור של $\displaystyle {f(x)}={\sin^4x-\cos^4x}$ בעזרת זהויות:

• הפרש ריבועים: $\displaystyle {\sin^4x-\cos^4x}={(\sin^2x-\cos^2x)(\sin^2x+\cos^2x)}$.
• $\displaystyle {\sin^2x+\cos^2x}={1}$, ולכן $\displaystyle {f(x)}={\sin^2x-\cos^2x}={-(\cos^2x-\sin^2x)}={-\cos2x}$.
• המחזור של $\displaystyle -\cos2x$ הוא $\displaystyle \pi$. גם $\displaystyle 2\pi$ הוא מחזור של $\displaystyle f$, אבל לא הקטן ביותר.

ארבעת הפרמטרים ב־$\displaystyle {y}={a\sin(bx+c)+d}$ פועלים על הגרף של $\displaystyle \sin x$ כמו בכל פונקציה, וכל אחד משנה תכונה אחת:

• $\displaystyle a$ – מתיחה אנכית: הגרף עולה ויורד בין $\displaystyle -|a|$ ל־$\displaystyle |a|$. המספר $\displaystyle |a|$ נקרא אמפליטודה.
• $\displaystyle b$ – כיווץ אופקי פי $\displaystyle b$: המחזור הוא $\displaystyle \frac{2\pi}{|b|}$.
• $\displaystyle c$ – הזזה אופקית: $\displaystyle {bx+c}={0}$ כש־$\displaystyle {x}={-\frac{c}{b}}$, ושם מתחיל מחזור חדש.
• $\displaystyle d$ – הזזה אנכית: הגרף עולה ויורד סביב הקו $\displaystyle {y}={d}$.

למשל $\displaystyle {y}={2\sin2x+1}$, בלוח לצד $\displaystyle \sin x$ (מקווקו):

• האמפליטודה 2, והגרף נע סביב $\displaystyle {y}={1}$: הערכים מ־$\displaystyle -1$ עד 3.
• $\displaystyle {b}={2}$: המחזור $\displaystyle {\frac{2\pi}{2}}={\pi}$ – שני מחזורים בכל מחזור של $\displaystyle \sin x$.

גם המעבר ממעלות לרדיאנים הוא מתיחה אופקית: סינוס של זווית של $\displaystyle x$ מעלות הוא $\displaystyle \sin\frac{\pi x}{180}$, הגרף של $\displaystyle \sin x$ מתוח אופקית פי $\displaystyle \frac{180}{\pi}\approx57.3$.

בלוח שלפניכם $\displaystyle \sin x$ (מקווקו), $\displaystyle \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ – מוזז $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ שמאלה – ו־$\displaystyle \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ – מוזז $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ימינה:

• הגרף של $\displaystyle \sin(x+2\pi)$ הוא בדיוק הגרף של $\displaystyle \sin x$: הזזה במחזור שלם לא משנה כלום.
• לכן אותו גרף מתקבל מכמה ערכים של $\displaystyle c$: $\displaystyle \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ ו־$\displaystyle {\sin\left(x+\frac{\pi}{3}-2\pi\right)}={\sin\left(x-\frac{5\pi}{3}\right)}$ הן אותה פונקציה.

חשבו בלי מחשבון.

בלוח מסורטט גרף של פונקציה מהצורה $\displaystyle {y}={a\sin bx}$.
קראו מהגרף את האמפליטודה ואת המחזור, וכתבו בלוח את הפונקציה.

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={\sin^2x}$.

כתבו את $\displaystyle f(x)$ בעזרת $\displaystyle \cos2x$, לפי הזהות $\displaystyle {\cos2x}={1-2\sin^2x}$.

מהו המחזור של $\displaystyle f$?
מהם הערכים ש־$\displaystyle f$ מקבלת?

נתונה הפונקציה $\displaystyle {f(x)}={2\sin x-1}$.

מצאו את כל נקודות האפס של $\displaystyle f$: פתרו את המשוואה $\displaystyle {f(x)}={0}$ (פתרון כללי, עם $\displaystyle k$ שלם).

סמנו על הגרף את נקודות האפס שבתחום $\displaystyle -\pi\leq x\leq2\pi$.

סמנו על הגרף של $\displaystyle {f(x)}={\cos2x+1}$ את כל נקודות הקיצון שבלוח.

מהו המחזור של $\displaystyle f$, ומהם הערכים שהיא מקבלת?
הסבירו בעזרת הפרמטרים $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ ו־$\displaystyle d$.