המספר i והמספרים המרוכבים

מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 1 מתוך 18לימוד

המספר i והמספרים המרוכבים

קבוצות המספרים

כל קבוצת מספרים חדשה נולדה ממשוואה שלא היה לה פתרון בקבוצה הקודמת:

$\displaystyle {x+5}={2}$ – אין פתרון בטבעיים $\displaystyle \mathbb{N}$ ; יש בשלמים $\displaystyle \mathbb{Z}$ : $\displaystyle {x}={-3}$ .
$\displaystyle {3x}={2}$ – אין פתרון בשלמים; יש ברציונליים $\displaystyle \mathbb{Q}$ : $\displaystyle {x}={\frac{2}{3}}$ .
$\displaystyle {x^2}={2}$ – אין פתרון ברציונליים; יש בממשיים $\displaystyle \mathbb{R}$ : $\displaystyle {x}={\pm\sqrt{2}}$ .
$\displaystyle {x^2}={-1}$ – אין פתרון בממשיים: ריבוע של מספר ממשי אינו שלילי.

במאה ה-16 השתמשו מתמטיקאים באיטליה בשורשים של מספרים שליליים כדי לפתור משוואות ממעלה שלישית, אבל לא ראו בהם מספרים, וקראו להם “מדומים”. רק במאה ה-19, אחרי עבודתו של גאוס, הם התקבלו כמספרים לכל דבר.

המספר

\displaystyle i

והמספר המרוכב

המספר $\displaystyle i$ הוא מספר שהריבוע שלו הוא $\displaystyle -1$ :

\displaystyle i^2=-1

מספר מהצורה $\displaystyle {z}={a+bi}$ , כש- $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$ ממשיים, נקרא מספר מרוכב, והצורה $\displaystyle a+bi$ נקראת ההצגה האלגברית שלו.

$\displaystyle a$ הוא החלק הממשי: $\displaystyle {\operatorname{Re}(z)}={a}$ .
$\displaystyle b$ הוא החלק המדומה: $\displaystyle {\operatorname{Im}(z)}={b}$ – מספר ממשי, בלי ה- $\displaystyle i$ .
כש- $\displaystyle {b}={0}$ , המספר ממשי: כל מספר ממשי הוא גם מספר מרוכב.
כש- $\displaystyle {a}={0}$ ו- $\displaystyle b\neq0$ , המספר מדומה טהור: $\displaystyle 3i$ , $\displaystyle -i$ .

לדוגמה, ב- $\displaystyle {z}={4-7i}$ : $\displaystyle {\operatorname{Re}(z)}={4}$ ו- $\displaystyle {\operatorname{Im}(z)}={-7}$ .

שורש של מספר שלילי

גם $\displaystyle {(3i)^2}={9i^2}={-9}$ וגם $\displaystyle {(-3i)^2}={-9}$ . השורש $\displaystyle \sqrt{-9}$ הוא אחד מהם, $\displaystyle 3i$ :

\displaystyle \sqrt{-a}=i\sqrt{a}

\displaystyle a>0

$\displaystyle {\sqrt{-16}}={4i}$ , $\displaystyle {\sqrt{-5}}={i\sqrt{5}}$ .
זהירות: $\displaystyle {\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}}={\sqrt{ab}}$ רק כש- $\displaystyle a,b\geq0$ . $\displaystyle \sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}$ אינו $\displaystyle {\sqrt{36}}={6}$ , אלא $\displaystyle {2i\cdot3i}={6i^2}={-6}$ .

חזקות של

\displaystyle i

החזקות של $\displaystyle i$ חוזרות על עצמן כל ארבע:

$\displaystyle {i^1}={i}$ , $\displaystyle {i^2}={-1}$ , $\displaystyle {i^3}={i^2\cdot i}={-i}$ , $\displaystyle {i^4}={(i^2)^2}={1}$ .
$\displaystyle {i^5}={i^4\cdot i}={i}$ , ומשם הכול חוזר.

לכן $\displaystyle i^n$ תלוי רק בשארית של $\displaystyle n$ בחילוק ב-4. בדוגמה שלפניכם נחשב את $\displaystyle i^{2026}$ :

$\displaystyle {2026}={4\cdot506+2}$ .
$\displaystyle {i^{2026}}={(i^4)^{506}\cdot i^2}={1\cdot(-1)}={-1}$ .

שוויון בין מספרים מרוכבים

שני מספרים מרוכבים שווים כשהחלקים הממשיים שלהם שווים וגם החלקים המדומים שלהם שווים:

\displaystyle a+bi=c+di\iff a=c,\ b=d

\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{R}

משוואה אחת במספרים מרוכבים היא לכן שתי משוואות במספרים ממשיים. בדוגמה שלפניכם נמצא $\displaystyle x$ ו- $\displaystyle y$ ממשיים שמקיימים $\displaystyle {(x+2y)+(x-y)i}={5+2i}$ :

החלקים הממשיים: $\displaystyle {x+2y}={5}$ .
החלקים המדומים: $\displaystyle {x-y}={2}$ .
מחיסור המשוואות: $\displaystyle {3y}={3}$ , ולכן $\displaystyle {y}={1}$ ו- $\displaystyle {x}={3}$ .

תרגיל 1

חשבו, וכתבו את התוצאה בהצגה אלגברית.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

מצאו $\displaystyle x$ ו- $\displaystyle y$ ממשיים שמקיימים את השוויון.
כתבו את שתי המשוואות – של החלקים הממשיים ושל החלקים המדומים – בשורה הראשונה, ופתרו.

$\displaystyle {(2x-y)+(x+y)i}={4+5i}$

$\displaystyle {(x+y)+(3x-y)i}={2-6i}$

תרגיל 3

נתון המספר $\displaystyle {z}={(x-3)+(x^2-4)i}$ , כש- $\displaystyle x$ ממשי.

מצאו את ערכי $\displaystyle x$ שבהם $\displaystyle z$ ממשי: פתרו את המשוואה $\displaystyle {\operatorname{Im}(z)}={0}$ .

מצאו את ערך $\displaystyle x$ שבו $\displaystyle z$ מדומה טהור. הסבירו מדוע צריך לבדוק גם את החלק המדומה.

נוסחאות: מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

ההצגה האלגברית וארבע הפעולות

המספר $\displaystyle i$
$\displaystyle i^{2}=-1$
ההצגה האלגברית
$\displaystyle z=a+bi$ $\displaystyle a=\operatorname{Re}(z),\ b=\operatorname{Im}(z)$
שוויון בין מספרים מרוכבים
$\displaystyle a+bi=c+di\iff a=c,\ b=d$
כפל
$\displaystyle (a+bi)(c+di)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (ac-bd)+(ad+bc)i$
המספר הצמוד
$\displaystyle \bar{z}=a-bi$
מכפלת מספר בצמוד שלו
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}$
חילוק – כפל בצמוד של המכנה
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{z_{1}\cdot\bar{z}_{2}}{z_{2}\cdot\bar{z}_{2}}$

ערך מוחלט ומספר צמוד

הערך המוחלט – המרחק מראשית הצירים
$\displaystyle |z|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle |z_{1}-z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}}$
מכפלה בצמוד וערך מוחלט
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z|^{2}$
הערך המוחלט של מכפלה
$\displaystyle |z_{1}\cdot z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z_{1}|\cdot|z_{2}|$
הצמוד של סכום
$\displaystyle \overline{z_{1}+z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}$
הצמוד של מכפלה
$\displaystyle \overline{z_{1}\cdot z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}\cdot\bar{z}_{2}$
סכום מספר והצמוד שלו
$\displaystyle z+\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\operatorname{Re}(z)$
אי־שוויון המשולש
$\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\le|z_{1}|+|z_{2}|$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים
$\displaystyle z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
סכום השורשים
$\displaystyle z_{1}+z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{b}{a}$
מכפלת השורשים
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{c}{a}$

ההצגה הקוטבית (הזוויות ברדיאנים)

ההצגה הקוטבית
$\displaystyle z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ $\displaystyle r=|z|$
הסימון cis
$\displaystyle r\operatorname{cis}\theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r(\cos\theta+i\sin\theta)$
החלק הממשי
$\displaystyle a=r\cos\theta$
החלק המדומה
$\displaystyle b=r\sin\theta$
הזווית – לפי הרביע של הנקודה
$\displaystyle \tan\theta=\frac{b}{a}$ $\displaystyle a\neq0$
מכפלה בהצגה קוטבית
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}\left[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]$
מנה בהצגה קוטבית
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\operatorname{cis}(\theta_{1}-\theta_{2})$
משפט דה־מואבר
$\displaystyle \left[R(\cos\varphi+i\sin\varphi)\right]^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{n}(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$
פתרונות המשוואה $\displaystyle {z^n}={R(\cos\varphi+i\sin\varphi)}$
$\displaystyle z_{k}=\sqrt[n]{R}\left[\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]$ $\displaystyle z^{n}=R(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ k=0,1,\ldots,n-1$

מקומות גאומטריים וסיבוב

מעגל שמרכזו $\displaystyle z_0$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle |z-z_{0}|=R$
האנך האמצעי לקטע $\displaystyle z_1z_2$
$\displaystyle |z-z_{1}|=|z-z_{2}|$
מעגל אפולוניוס
$\displaystyle |z-z_{1}|=m|z-z_{2}|$ $\displaystyle m>0,\ m\neq1$
סיבוב בזווית $\displaystyle \theta$ סביב $\displaystyle z_0$
$\displaystyle w=z_{0}+(z-z_{0})\operatorname{cis}\theta$