דלג לתוכן

משפט דה־מואבר

מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 11 מתוך 18לימוד

משפט דה־מואבר

המשפט

חזקה היא כפל חוזר, ובכל כפל הזוויות מתחברות. לכן ב-zn\displaystyle z^n הערך המוחלט מועלה בחזקה n\displaystyle n, והזווית נכפלת ב-n\displaystyle n:

[R(cos⁡φ+isin⁡φ)]n\displaystyle \left[R(\cos\varphi+i\sin\varphi)\right]^{n} =\displaystyle = Rn(cos⁡nφ+isin⁡nφ)\displaystyle R^{n}(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)

המשפט נכון לכל n\displaystyle n טבעי, וגם ל-n=0\displaystyle {n}={0} ולשלם שלילי, כי z−n=1zn\displaystyle {z^{-n}}={\frac{1}{z^n}}.

הוכחה באינדוקציה

ההוכחה שלפניכם מוכיחה את המשפט לכל n\displaystyle n טבעי באינדוקציה, בעזרת כלל המכפלה בהצגה הקוטבית:

  • בסיס: עבור n=1\displaystyle {n}={1} שני הצדדים הם Rcis⁡φ\displaystyle R\operatorname{cis}\varphi.
  • הנחה: נניח שעבור k\displaystyle k טבעי כלשהו (Rcis⁡φ)k=Rkcis⁡kφ\displaystyle {(R\operatorname{cis}\varphi)^k}={R^k\operatorname{cis}k\varphi}.
  • צעד: (Rcis⁡φ)k+1=(Rcis⁡φ)k⋅Rcis⁡φ=Rkcis⁡kφ⋅Rcis⁡φ\displaystyle {(R\operatorname{cis}\varphi)^{k+1}}={(R\operatorname{cis}\varphi)^k\cdot R\operatorname{cis}\varphi}={R^k\operatorname{cis}k\varphi\cdot R\operatorname{cis}\varphi}.
  • לפי כלל המכפלה: =Rk+1cis⁡(kφ+φ)=Rk+1cis⁡(k+1)φ\displaystyle {}={R^{k+1}\operatorname{cis}(k\varphi+\varphi)}={R^{k+1}\operatorname{cis}(k+1)\varphi} – הטענה עבור k+1\displaystyle k+1.
  • מסקנה: לפי עקרון האינדוקציה, המשפט נכון לכל n\displaystyle n טבעי.
דוגמה פתורה: חזקה גבוהה

כדי להעלות מספר בהצגה אלגברית בחזקה גבוהה, עוברים להצגה קוטבית. בדוגמה שלפניכם נחשב את (1−i)10\displaystyle (1-i)^{10}:

  • 1−i=2cis⁡(−π4)\displaystyle {1-i}={\sqrt{2}\operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{4}\right)}.
  • (1−i)10=(2)10cis⁡(−10π4)=32cis⁡(−5π2)\displaystyle {(1-i)^{10}}={(\sqrt{2})^{10}\operatorname{cis}\left(-\frac{10\pi}{4}\right)}={32\operatorname{cis}\left(-\frac{5\pi}{2}\right)}.
  • −5π2+2π=−π2\displaystyle {-\frac{5\pi}{2}+2\pi}={-\frac{\pi}{2}}, ולכן (1−i)10=32cis⁡(−π2)=−32i\displaystyle {(1-i)^{10}}={32\operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{2}\right)}={-32i}.
נוסחאות של זווית כפולה

משפט דה־מואבר נותן את (cos⁡θ+isin⁡θ)2=cos⁡2θ+isin⁡2θ\displaystyle {(\cos\theta+i\sin\theta)^2}={\cos2\theta+i\sin2\theta}. מפתיחת סוגריים באגף השמאלי:

  • (cos⁡θ+isin⁡θ)2=cos⁡2θ−sin⁡2θ+2isin⁡θcos⁡θ\displaystyle {(\cos\theta+i\sin\theta)^2}={\cos^2\theta-\sin^2\theta+2i\sin\theta\cos\theta}.
  • השוואת החלקים הממשיים: cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ\displaystyle {\cos2\theta}={\cos^2\theta-\sin^2\theta}.
  • השוואת החלקים המדומים: sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {\sin2\theta}={2\sin\theta\cos\theta}.
תרגיל 1

חשבו בעזרת משפט דה־מואבר, וכתבו את התוצאה בהצגה אלגברית.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 2

            חשבו, וכתבו את התוצאה בהצגה קוטבית.

            א

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 3

                פתחו סוגריים ב-(cos⁡θ+isin⁡θ)3\displaystyle (\cos\theta+i\sin\theta)^3, וכתבו את התוצאה בצורה …+i⋅…\displaystyle \ldots+i\cdot\ldots.
                אחר כך השוו לחלקים של cos⁡3θ+isin⁡3θ\displaystyle \cos3\theta+i\sin3\theta, ומצאו נוסחה ל-cos⁡3θ\displaystyle \cos3\theta בעזרת cos⁡θ\displaystyle \cos\theta ו-sin⁡θ\displaystyle \sin\theta.

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  תרגיל 4

                  מצאו את המספר הטבעי הקטן ביותר n\displaystyle n שבשבילו (1+3i)n\displaystyle (1+\sqrt{3}i)^n ממשי, ואת המספר הטבעי הקטן ביותר שבשבילו הוא מדומה טהור – אם יש כזה. נמקו בעזרת הזווית.

                  ממשי

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    תרגיל 5

                    הסדרה zn=(cos⁡α+isin⁡α)n\displaystyle {z_n}={(\cos\alpha+i\sin\alpha)^n} מוגדרת לכל n\displaystyle n טבעי, כש-0<α<π\displaystyle 0<\alpha<\pi.

                    א

                    הראו ש-∣zn+1−zn∣\displaystyle |z_{n+1}-z_n| אינו תלוי ב-n\displaystyle n: הוציאו את zn\displaystyle z_n כגורם משותף.

                    ב

                    מה הפירוש של התוצאה במישור גאוס?