ארבע פעולות החשבון

מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 2 מתוך 18לימוד

ארבע פעולות החשבון

חיבור וחיסור

מחברים ומחסרים כל חלק לחוד – את החלקים הממשיים ואת החלקים המדומים:

\displaystyle (a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i

$\displaystyle {(3+2i)+(1-5i)}={4-3i}$ .
$\displaystyle {(3+2i)-(1-5i)}={2+7i}$ .

כפל

כופלים כמו בכפל סוגריים, ומחליפים את $\displaystyle i^2$ ב- $\displaystyle -1$ :

\displaystyle (a+bi)(c+di)

\displaystyle =

\displaystyle (ac-bd)+(ad+bc)i

בדוגמה שלפניכם נכפול את $\displaystyle (2+3i)(1-i)$ :

$\displaystyle {(2+3i)(1-i)}={2-2i+3i-3i^2}$ .
$\displaystyle {-3i^2}={+3}$ , ולכן התוצאה $\displaystyle 5+i$ .

גם נוסחאות הכפל המקוצר נכונות: $\displaystyle {(1+i)^2}={1+2i+i^2}={2i}$ .

המספר הצמוד

המספר הצמוד ל- $\displaystyle {z}={a+bi}$ הוא $\displaystyle {\bar{z}}={a-bi}$ : אותו חלק ממשי, והחלק המדומה בסימן הפוך. מכפלת מספר בצמוד שלו היא מספר ממשי שאינו שלילי:

\displaystyle (a+bi)(a-bi)

\displaystyle =

\displaystyle a^{2}+b^{2}

$\displaystyle {(3+4i)(3-4i)}={9-16i^2}={9+16}={25}$ .
הצמוד של $\displaystyle -2i$ הוא $\displaystyle 2i$ , והצמוד של מספר ממשי הוא המספר עצמו.

חילוק

כדי לחלק, כופלים את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה: המכנה נעשה מספר ממשי. בדוגמה שלפניכם נחלק $\displaystyle \frac{4+7i}{2+i}$ :

הצמוד של המכנה הוא $\displaystyle 2-i$ : $\displaystyle \frac{(4+7i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}$ .
המונה: $\displaystyle {8-4i+14i-7i^2}={15+10i}$ . המכנה: $\displaystyle {2^2+1^2}={5}$ .
$\displaystyle {\frac{15+10i}{5}}={3+2i}$ .

בדיקה: $\displaystyle {(3+2i)(2+i)}={6+3i+4i+2i^2}={4+7i}$ .

חוקי החשבון ויחס הסדר

במספרים המרוכבים נכונים כל חוקי החשבון של המספרים הממשיים: חוק החילוף וחוק הקיבוץ בחיבור ובכפל, וחוק הפילוג. לכל מספר יש נגדי, ולכל מספר שאינו 0 יש הופכי. לכן כל מה שעשיתם באלגברה – פתיחת סוגריים, הוצאת גורם משותף, נוסחאות הכפל המקוצר – נכון גם כאן.

אבל אין בהם יחס סדר: אי אפשר לומר על $\displaystyle i$ שהוא גדול מ-0 או קטן מ-0. ההוכחה שלפניכם בודקת את שתי האפשרויות:

אם $\displaystyle i>0$ , אז כפל שני הצדדים ב- $\displaystyle i$ שומר על הסימן: $\displaystyle i\cdot i>0$ , כלומר $\displaystyle -1>0$ – סתירה.
אם $\displaystyle i<0$ , אז $\displaystyle -i>0$ , ושוב $\displaystyle (-i)(-i)>0$ , כלומר $\displaystyle -1>0$ – סתירה.

לכן אין משמעות ל- $\displaystyle z_1<z_2$ במספרים מרוכבים.

תרגיל 1

חשבו, וכתבו את התוצאה בהצגה אלגברית.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

חלקו: כפלו את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה.

תרגיל 3

פתרו את המשוואות. בודדו את $\displaystyle z$ ואז חלקו.

נוסחאות: מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

ההצגה האלגברית וארבע הפעולות

המספר $\displaystyle i$
$\displaystyle i^{2}=-1$
ההצגה האלגברית
$\displaystyle z=a+bi$ $\displaystyle a=\operatorname{Re}(z),\ b=\operatorname{Im}(z)$
שוויון בין מספרים מרוכבים
$\displaystyle a+bi=c+di\iff a=c,\ b=d$
כפל
$\displaystyle (a+bi)(c+di)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (ac-bd)+(ad+bc)i$
המספר הצמוד
$\displaystyle \bar{z}=a-bi$
מכפלת מספר בצמוד שלו
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}$
חילוק – כפל בצמוד של המכנה
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{z_{1}\cdot\bar{z}_{2}}{z_{2}\cdot\bar{z}_{2}}$

ערך מוחלט ומספר צמוד

הערך המוחלט – המרחק מראשית הצירים
$\displaystyle |z|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle |z_{1}-z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}}$
מכפלה בצמוד וערך מוחלט
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z|^{2}$
הערך המוחלט של מכפלה
$\displaystyle |z_{1}\cdot z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z_{1}|\cdot|z_{2}|$
הצמוד של סכום
$\displaystyle \overline{z_{1}+z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}$
הצמוד של מכפלה
$\displaystyle \overline{z_{1}\cdot z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}\cdot\bar{z}_{2}$
סכום מספר והצמוד שלו
$\displaystyle z+\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\operatorname{Re}(z)$
אי־שוויון המשולש
$\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\le|z_{1}|+|z_{2}|$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים
$\displaystyle z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
סכום השורשים
$\displaystyle z_{1}+z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{b}{a}$
מכפלת השורשים
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{c}{a}$

ההצגה הקוטבית (הזוויות ברדיאנים)

ההצגה הקוטבית
$\displaystyle z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ $\displaystyle r=|z|$
הסימון cis
$\displaystyle r\operatorname{cis}\theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r(\cos\theta+i\sin\theta)$
החלק הממשי
$\displaystyle a=r\cos\theta$
החלק המדומה
$\displaystyle b=r\sin\theta$
הזווית – לפי הרביע של הנקודה
$\displaystyle \tan\theta=\frac{b}{a}$ $\displaystyle a\neq0$
מכפלה בהצגה קוטבית
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}\left[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]$
מנה בהצגה קוטבית
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\operatorname{cis}(\theta_{1}-\theta_{2})$
משפט דה־מואבר
$\displaystyle \left[R(\cos\varphi+i\sin\varphi)\right]^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{n}(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$
פתרונות המשוואה $\displaystyle {z^n}={R(\cos\varphi+i\sin\varphi)}$
$\displaystyle z_{k}=\sqrt[n]{R}\left[\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]$ $\displaystyle z^{n}=R(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ k=0,1,\ldots,n-1$

מקומות גאומטריים וסיבוב

מעגל שמרכזו $\displaystyle z_0$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle |z-z_{0}|=R$
האנך האמצעי לקטע $\displaystyle z_1z_2$
$\displaystyle |z-z_{1}|=|z-z_{2}|$
מעגל אפולוניוס
$\displaystyle |z-z_{1}|=m|z-z_{2}|$ $\displaystyle m>0,\ m\neq1$
סיבוב בזווית $\displaystyle \theta$ סביב $\displaystyle z_0$
$\displaystyle w=z_{0}+(z-z_{0})\operatorname{cis}\theta$