מישור גאוס

מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 3 מתוך 18לימוד

מישור גאוס

מספר כנקודה

למספר המרוכב $\displaystyle {z}={a+bi}$ יש שני חלקים ממשיים, ולכן אפשר לסמן אותו בנקודה $\displaystyle (a,b)$ במערכת צירים. מערכת הצירים הזאת נקראת מישור גאוס:

ציר ה- $\displaystyle x$ הוא הציר הממשי: עליו המספרים הממשיים.
ציר ה- $\displaystyle y$ הוא הציר המדומה: עליו המספרים המדומים הטהורים.
כל מספר מרוכב הוא נקודה אחת, וכל נקודה היא מספר מרוכב אחד.

במערכת הצירים שלפניכם הנקודות של $\displaystyle {z_1}={2+3i}$ , $\displaystyle {z_2}={-3+i}$ , $\displaystyle {z_3}={-2i}$ ו- $\displaystyle {z_4}={4}$ .

\displaystyle z_1=(2,3)

\displaystyle z_2=(-3,1)

\displaystyle z_3=(0,-2)

\displaystyle z_4=(4,0)

חיבור וחיסור כווקטורים

אפשר לראות את $\displaystyle {z}={a+bi}$ גם כווקטור – חץ מראשית הצירים לנקודה $\displaystyle (a,b)$ . חיבור מספרים מרוכבים הוא חיבור הווקטורים שלהם, רכיב אחר רכיב:

$\displaystyle z_1+z_2$ הוא הקודקוד הרביעי של המקבילית שקודקודיה $\displaystyle 0$ , $\displaystyle z_1$ ו- $\displaystyle z_2$ : האלכסון שיוצא מראשית הצירים.
$\displaystyle z_1-z_2$ הוא הווקטור מ- $\displaystyle z_2$ אל $\displaystyle z_1$ , שהוזז לראשית הצירים: $\displaystyle {z_2+(z_1-z_2)}={z_1}$ .

במערכת הצירים שלפניכם $\displaystyle {z_1}={1+2i}$ , $\displaystyle {z_2}={3-i}$ והסכום $\displaystyle {z_1+z_2}={4+i}$ .

\displaystyle z_1=(1,2)

\displaystyle z_2=(3,-1)

\displaystyle z_1+z_2=(4,1)

\displaystyle O=(0,0)

הצמוד והנגדי

הצמוד והנגדי של $\displaystyle {z}={a+bi}$ הם שיקופים של הנקודה $\displaystyle (a,b)$ :

$\displaystyle {\bar{z}}={a-bi}$ הוא הנקודה $\displaystyle (a,-b)$ : השיקוף של $\displaystyle z$ ביחס לציר הממשי.
$\displaystyle {-z}={-a-bi}$ הוא הנקודה $\displaystyle (-a,-b)$ : השיקוף של $\displaystyle z$ ביחס לראשית הצירים.
$\displaystyle {-\bar{z}}={-a+bi}$ הוא הנקודה $\displaystyle (-a,b)$ : השיקוף ביחס לציר המדומה.
$\displaystyle kz$ , כש- $\displaystyle k$ ממשי וחיובי, הוא הווקטור של $\displaystyle z$ מתוח פי $\displaystyle k$ , באותו כיוון.

תרגיל 1

נתון $\displaystyle {z}={3-2i}$ .
סמנו במערכת הצירים את הנקודות של $\displaystyle z$ , $\displaystyle \bar{z}$ , $\displaystyle -z$ ו- $\displaystyle 2z$ .

תרגיל 2

נתונים $\displaystyle {z_1}={1+2i}$ ו- $\displaystyle {z_2}={3-i}$ .

חשבו את $\displaystyle z_1-z_2$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את $\displaystyle 2z_1+z_2$ .

סמנו את $\displaystyle z_1-z_2$ ואת $\displaystyle 2z_1+z_2$ במערכת הצירים, ובדקו שהם מתאימים לבנייה של חיבור וחיסור וקטורים.

\displaystyle z_1=(1,2)

\displaystyle z_2=(3,-1)

תרגיל 3

$\displaystyle ABCD$ מקבילית. במישור גאוס $\displaystyle {A}={1+i}$ , $\displaystyle {B}={4+2i}$ ו- $\displaystyle {C}={5+5i}$ .
מצאו את המספר המרוכב של הקודקוד $\displaystyle D$ .
רמז: $\displaystyle {\overrightarrow{AD}}={\overrightarrow{BC}}$ , ולכן $\displaystyle {D-A}={C-B}$ .

תרגיל 4

נתון $\displaystyle {z}={a+bi}$ , כש- $\displaystyle a\neq0$ ו- $\displaystyle b\neq0$ .
איזה מרובע יוצרות הנקודות $\displaystyle z$ , $\displaystyle \bar{z}$ , $\displaystyle -z$ ו- $\displaystyle -\bar{z}$ ? נמקו.

נוסחאות: מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

ההצגה האלגברית וארבע הפעולות

המספר $\displaystyle i$
$\displaystyle i^{2}=-1$
ההצגה האלגברית
$\displaystyle z=a+bi$ $\displaystyle a=\operatorname{Re}(z),\ b=\operatorname{Im}(z)$
שוויון בין מספרים מרוכבים
$\displaystyle a+bi=c+di\iff a=c,\ b=d$
כפל
$\displaystyle (a+bi)(c+di)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (ac-bd)+(ad+bc)i$
המספר הצמוד
$\displaystyle \bar{z}=a-bi$
מכפלת מספר בצמוד שלו
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}$
חילוק – כפל בצמוד של המכנה
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{z_{1}\cdot\bar{z}_{2}}{z_{2}\cdot\bar{z}_{2}}$

ערך מוחלט ומספר צמוד

הערך המוחלט – המרחק מראשית הצירים
$\displaystyle |z|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle |z_{1}-z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}}$
מכפלה בצמוד וערך מוחלט
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z|^{2}$
הערך המוחלט של מכפלה
$\displaystyle |z_{1}\cdot z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z_{1}|\cdot|z_{2}|$
הצמוד של סכום
$\displaystyle \overline{z_{1}+z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}$
הצמוד של מכפלה
$\displaystyle \overline{z_{1}\cdot z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}\cdot\bar{z}_{2}$
סכום מספר והצמוד שלו
$\displaystyle z+\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\operatorname{Re}(z)$
אי־שוויון המשולש
$\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\le|z_{1}|+|z_{2}|$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים
$\displaystyle z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
סכום השורשים
$\displaystyle z_{1}+z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{b}{a}$
מכפלת השורשים
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{c}{a}$

ההצגה הקוטבית (הזוויות ברדיאנים)

ההצגה הקוטבית
$\displaystyle z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ $\displaystyle r=|z|$
הסימון cis
$\displaystyle r\operatorname{cis}\theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r(\cos\theta+i\sin\theta)$
החלק הממשי
$\displaystyle a=r\cos\theta$
החלק המדומה
$\displaystyle b=r\sin\theta$
הזווית – לפי הרביע של הנקודה
$\displaystyle \tan\theta=\frac{b}{a}$ $\displaystyle a\neq0$
מכפלה בהצגה קוטבית
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}\left[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]$
מנה בהצגה קוטבית
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\operatorname{cis}(\theta_{1}-\theta_{2})$
משפט דה־מואבר
$\displaystyle \left[R(\cos\varphi+i\sin\varphi)\right]^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{n}(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$
פתרונות המשוואה $\displaystyle {z^n}={R(\cos\varphi+i\sin\varphi)}$
$\displaystyle z_{k}=\sqrt[n]{R}\left[\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]$ $\displaystyle z^{n}=R(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ k=0,1,\ldots,n-1$

מקומות גאומטריים וסיבוב

מעגל שמרכזו $\displaystyle z_0$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle |z-z_{0}|=R$
האנך האמצעי לקטע $\displaystyle z_1z_2$
$\displaystyle |z-z_{1}|=|z-z_{2}|$
מעגל אפולוניוס
$\displaystyle |z-z_{1}|=m|z-z_{2}|$ $\displaystyle m>0,\ m\neq1$
סיבוב בזווית $\displaystyle \theta$ סביב $\displaystyle z_0$
$\displaystyle w=z_{0}+(z-z_{0})\operatorname{cis}\theta$