דלג לתוכן

בעיות גאומטריות במספרים מרוכבים

מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 16 מתוך 18לימוד

בעיות גאומטריות במספרים מרוכבים

העתקות במישור כפעולות

כשמזיזים, מותחים או מסובבים תמונה במחשב, פועלים על הקודקודים שלה. אם הקודקודים הם מספרים מרוכבים, כל העתקה היא פעולה אחת:

  • הזזה בווקטור w\displaystyle w: z↦z+w\displaystyle z\mapsto z+w.
  • מתיחה פי k>0\displaystyle k>0 מראשית הצירים: z↦kz\displaystyle z\mapsto kz.
  • שיקוף ביחס לציר הממשי: z↦zˉ\displaystyle z\mapsto\bar{z}.
  • סיבוב סביב ראשית הצירים בזווית θ\displaystyle \theta: z↦zcis⁡θ\displaystyle z\mapsto z\operatorname{cis}\theta; סביב z0\displaystyle z_0: z↦z0+(z−z0)cis⁡θ\displaystyle z\mapsto z_0+(z-z_0)\operatorname{cis}\theta.

לדוגמה, בתמונה של חתול האוזניים ב-A=1+6i\displaystyle {A}={1+6i} וב-B=2+6i\displaystyle {B}={2+6i}, והזנב ב-C=5+5i\displaystyle {C}={5+5i}. כפל ב-i\displaystyle i מסובב את התמונה ברבע סיבוב סביב ראשית הצירים: iA=−6+i\displaystyle {iA}={-6+i}, iB=−6+2i\displaystyle {iB}={-6+2i}, iC=−5+5i\displaystyle {iC}={-5+5i}.

אמצע קטע ומפגש התיכונים

כמו בווקטורים:

  • אמצע הקטע z1z2\displaystyle z_1z_2: z1+z22\displaystyle \frac{z_1+z_2}{2}.
  • מפגש התיכונים במשולש z1z2z3\displaystyle z_1z_2z_3: z1+z2+z33\displaystyle \frac{z_1+z_2+z_3}{3}.
  • z1z2z3z4\displaystyle z_1z_2z_3z_4 מקבילית בדיוק כש-z1+z3=z2+z4\displaystyle {z_1+z_3}={z_2+z_4}: לאלכסונים אותו אמצע.
דוגמה פתורה: סכום של זוויות

במכפלה הזוויות מתחברות, ולכן מכפלה יכולה לחשב סכום של זוויות. בדוגמה שלפניכם נוכיח: tan⁡−11+tan⁡−112+tan⁡−113=π2\displaystyle {\tan^{-1}1+\tan^{-1}\frac{1}{2}+\tan^{-1}\frac{1}{3}}={\frac{\pi}{2}}.

  • הזוויות של 1+i\displaystyle 1+i, של 2+i\displaystyle 2+i ושל 3+i\displaystyle 3+i הן tan⁡−11\displaystyle \tan^{-1}1, tan⁡−112\displaystyle \tan^{-1}\frac{1}{2} ו-tan⁡−113\displaystyle \tan^{-1}\frac{1}{3} – כולן ברביע הראשון.
  • הזווית של המכפלה היא סכום הזוויות.
  • (1+i)(2+i)(3+i)=(1+3i)(3+i)=10i\displaystyle {(1+i)(2+i)(3+i)}={(1+3i)(3+i)}={10i}, והזווית של 10i\displaystyle 10i היא π2\displaystyle \frac{\pi}{2}.
  • הסכום בין 0\displaystyle 0 ל-3π2\displaystyle \frac{3\pi}{2}, ולכן הוא π2\displaystyle \frac{\pi}{2} עצמו, לא π2+2kπ\displaystyle \frac{\pi}{2}+2k\pi אחר.
תרגיל 1

הנקודות של החתול הן A=1+6i\displaystyle {A}={1+6i}, B=2+6i\displaystyle {B}={2+6i} ו-C=5+5i\displaystyle {C}={5+5i}.
מצאו את הנקודה החדשה של הזנב C\displaystyle C אחרי ההעתקה, בהצגה אלגברית.

א

שיקוף ביחס לציר הממשי, ואחר כך הזזה בווקטור −2+3i\displaystyle -2+3i.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    סיבוב בחצי סיבוב סביב A\displaystyle A.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      מתיחה פי 2 מראשית הצירים, ואחר כך סיבוב ברבע סיבוב סביב ראשית הצירים בכיוון השעון.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        ABCD\displaystyle ABCD ריבוע, וקודקודיו בכיוון נגד השעון.
        A=1+2i\displaystyle {A}={1+2i} ו-B=5+3i\displaystyle {B}={5+3i}.
        מצאו את C\displaystyle C ואת D\displaystyle D.

        א

        C\displaystyle C

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          D\displaystyle D

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 3

            הקודקודים של משולש הם 1+i\displaystyle 1+i, 5+2i\displaystyle 5+2i ו-3+6i\displaystyle 3+6i.
            מצאו את נקודת המפגש של התיכונים.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 4

              הוכיחו שבמקבילית סכום ריבועי האלכסונים שווה לסכום ריבועי הצלעות: במקבילית שקודקודיה 0\displaystyle 0, z1\displaystyle z_1, z1+z2\displaystyle z_1+z_2, z2\displaystyle z_2, הראו ש-∣z1+z2∣2+∣z1−z2∣2=2∣z1∣2+2∣z2∣2\displaystyle {|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2}={2|z_1|^2+2|z_2|^2}.
              רמז: ∣w∣2=w⋅wˉ\displaystyle {|w|^2}={w\cdot\bar{w}}.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 5

                z1\displaystyle z_1, z2\displaystyle z_2 ו-z3\displaystyle z_3 קודקודים של משולש שווה צלעות, בכיוון נגד השעון, ו-ω=cis⁡2π3\displaystyle {\omega}={\operatorname{cis}\frac{2\pi}{3}}.
                הסבירו מדוע z3−z1=(z2−z1)cis⁡π3\displaystyle {z_3-z_1}={(z_2-z_1)\operatorname{cis}\frac{\pi}{3}}, והראו ש-z1+ωz2+ω2z3=0\displaystyle {z_1+\omega z_2+\omega^2z_3}={0}.