משוואות ממעלה גבוהה

מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 7 מתוך 18לימוד

משוואות ממעלה גבוהה

פתרונות צמודים

במשוואה $\displaystyle {p(z)}={0}$ , כש- $\displaystyle p$ פולינום עם מקדמים ממשיים: אם $\displaystyle z_0$ פתרון, גם $\displaystyle \bar{z}_0$ פתרון. ההוכחה שלפניכם משתמשת בתכונות הצמוד:

הצמוד של סכום הוא סכום הצמודים, והצמוד של מכפלה הוא מכפלת הצמודים; לכן $\displaystyle {\overline{z^n}}={\bar{z}^n}$ .
מקדם ממשי $\displaystyle a$ שווה לצמוד שלו, ולכן $\displaystyle {\overline{a z^n}}={a\bar{z}^n}$ .
מכאן $\displaystyle {\overline{p(z_0)}}={p(\bar{z}_0)}$ , ו- $\displaystyle {p(z_0)}={0}$ נותן $\displaystyle {p(\bar{z}_0)}={\bar{0}}={0}$ .

לכן למשוואה ממעלה שלישית עם מקדמים ממשיים יש תמיד לפחות פתרון ממשי אחד: הפתרונות שאינם ממשיים באים בזוגות.

משוואה דו־ריבועית

במשוואה שיש בה רק $\displaystyle z^4$ , $\displaystyle z^2$ ומספר, מציבים $\displaystyle {t}={z^2}$ . בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {z^4+3z^2-4}={0}$ :

$\displaystyle {t^2+3t-4}={0}$ , ולכן $\displaystyle {t}={1}$ או $\displaystyle {t}={-4}$ .
$\displaystyle {z^2}={1}$ נותן $\displaystyle {z}={\pm1}$ ; $\displaystyle {z^2}={-4}$ נותן $\displaystyle {z}={\pm2i}$ .
ארבעה פתרונות: $\displaystyle 1$ , $\displaystyle -1$ , $\displaystyle 2i$ , $\displaystyle -2i$ .

דוגמה פתורה: ניחוש וחילוק

כשמכירים פתרון אחד $\displaystyle z_0$ , הפולינום מתחלק ב- $\displaystyle z-z_0$ , ונשארת משוואה ממעלה נמוכה יותר. בדוגמה שלפניכם נפתור את $\displaystyle {z^3-3z^2+4z-2}={0}$ :

פתרון שלם מחלק את המקדם החופשי $\displaystyle -2$ . מנסים: $\displaystyle {1-3+4-2}={0}$ , ולכן $\displaystyle {z}={1}$ פתרון.
מחלקים ב- $\displaystyle z-1$ : $\displaystyle {z^3-3z^2+4z-2}={(z-1)(z^2-2z+2)}$ .
$\displaystyle {z^2-2z+2}={0}$ : $\displaystyle {\Delta}={-4}$ , ולכן $\displaystyle {z}={1\pm i}$ .
הפתרונות: $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 1+i$ , $\displaystyle 1-i$ .

כשנתון פתרון שאינו ממשי $\displaystyle z_0$ במשוואה עם מקדמים ממשיים, מחלקים ב- $\displaystyle (z-z_0)(z-\bar{z}_0)$ – פולינום ממעלה שנייה עם מקדמים ממשיים.

תרגיל 1

פתרו בהצבה $\displaystyle {t}={z^2}$ .

תרגיל 2

פתרו: פרקו לגורמים, או מצאו פתרון אחד וחלקו.

תרגיל 3

$\displaystyle 2+i$ הוא פתרון של המשוואה $\displaystyle {z^3-5z^2+9z-5}={0}$ .
מצאו את שאר הפתרונות.

תרגיל 4

בנו משוואה ממעלה שלישית עם מקדמים ממשיים ששניים מהפתרונות שלה הם $\displaystyle 1+i$ ו- $\displaystyle -1$ .
מהו הפתרון השלישי? כתבו את המשוואה, ובדקו אותה בכלי המשוואות.

תרגיל 5

למשוואה $\displaystyle {z^4+az^3+bz^2+cz+d}={0}$ מקדמים ממשיים, ו- $\displaystyle i$ ו- $\displaystyle 2-3i$ הם פתרונות שלה.
מצאו את כל הפתרונות, והסבירו מדוע אין לה פתרון ממשי.

נוסחאות: מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

ההצגה האלגברית וארבע הפעולות

המספר $\displaystyle i$
$\displaystyle i^{2}=-1$
ההצגה האלגברית
$\displaystyle z=a+bi$ $\displaystyle a=\operatorname{Re}(z),\ b=\operatorname{Im}(z)$
שוויון בין מספרים מרוכבים
$\displaystyle a+bi=c+di\iff a=c,\ b=d$
כפל
$\displaystyle (a+bi)(c+di)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (ac-bd)+(ad+bc)i$
המספר הצמוד
$\displaystyle \bar{z}=a-bi$
מכפלת מספר בצמוד שלו
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}$
חילוק – כפל בצמוד של המכנה
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{z_{1}\cdot\bar{z}_{2}}{z_{2}\cdot\bar{z}_{2}}$

ערך מוחלט ומספר צמוד

הערך המוחלט – המרחק מראשית הצירים
$\displaystyle |z|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle |z_{1}-z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}}$
מכפלה בצמוד וערך מוחלט
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z|^{2}$
הערך המוחלט של מכפלה
$\displaystyle |z_{1}\cdot z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z_{1}|\cdot|z_{2}|$
הצמוד של סכום
$\displaystyle \overline{z_{1}+z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}$
הצמוד של מכפלה
$\displaystyle \overline{z_{1}\cdot z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}\cdot\bar{z}_{2}$
סכום מספר והצמוד שלו
$\displaystyle z+\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\operatorname{Re}(z)$
אי־שוויון המשולש
$\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\le|z_{1}|+|z_{2}|$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים
$\displaystyle z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
סכום השורשים
$\displaystyle z_{1}+z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{b}{a}$
מכפלת השורשים
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{c}{a}$

ההצגה הקוטבית (הזוויות ברדיאנים)

ההצגה הקוטבית
$\displaystyle z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ $\displaystyle r=|z|$
הסימון cis
$\displaystyle r\operatorname{cis}\theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r(\cos\theta+i\sin\theta)$
החלק הממשי
$\displaystyle a=r\cos\theta$
החלק המדומה
$\displaystyle b=r\sin\theta$
הזווית – לפי הרביע של הנקודה
$\displaystyle \tan\theta=\frac{b}{a}$ $\displaystyle a\neq0$
מכפלה בהצגה קוטבית
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}\left[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]$
מנה בהצגה קוטבית
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\operatorname{cis}(\theta_{1}-\theta_{2})$
משפט דה־מואבר
$\displaystyle \left[R(\cos\varphi+i\sin\varphi)\right]^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{n}(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$
פתרונות המשוואה $\displaystyle {z^n}={R(\cos\varphi+i\sin\varphi)}$
$\displaystyle z_{k}=\sqrt[n]{R}\left[\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]$ $\displaystyle z^{n}=R(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ k=0,1,\ldots,n-1$

מקומות גאומטריים וסיבוב

מעגל שמרכזו $\displaystyle z_0$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle |z-z_{0}|=R$
האנך האמצעי לקטע $\displaystyle z_1z_2$
$\displaystyle |z-z_{1}|=|z-z_{2}|$
מעגל אפולוניוס
$\displaystyle |z-z_{1}|=m|z-z_{2}|$ $\displaystyle m>0,\ m\neq1$
סיבוב בזווית $\displaystyle \theta$ סביב $\displaystyle z_0$
$\displaystyle w=z_{0}+(z-z_{0})\operatorname{cis}\theta$