מקומות גאומטריים במישור גאוס

מקום גאומטרי הוא קבוצת כל הנקודות שמקיימות תנאי. במישור גאוס התנאי הוא משוואה ב-$\displaystyle z$, ו-$\displaystyle |z_1-z_2|$ הוא המרחק בין שתי נקודות. לכן אפשר לזהות את המקום משתי דרכים:

• גאומטרית: לקרוא את התנאי כמרחקים, ולזהות צורה מוכרת.
• אלגברית: להציב $\displaystyle {z}={x+yi}$, ולקבל משוואה ב-$\displaystyle x$ וב-$\displaystyle y$, כמו בגאומטריה אנליטית.

במערכות הצירים בשיעור הזה ציר ה-$\displaystyle x$ הוא הציר הממשי, וציר ה-$\displaystyle y$ הוא הציר המדומה. את המקום כותבים שם כמשוואה ב-$\displaystyle x$ וב-$\displaystyle y$.

$\displaystyle {|z-z_0|}={R}$: המרחק של $\displaystyle z$ מהנקודה $\displaystyle z_0$ הוא $\displaystyle R$ – מעגל שמרכזו $\displaystyle z_0$ ורדיוסו $\displaystyle R$. בדוגמה שלפניכם $\displaystyle {|z-2+i|}={3}$:

• $\displaystyle {|z-(2-i)|}={3}$: מעגל שמרכזו $\displaystyle 2-i$ ורדיוסו 3.
• אלגברית: $\displaystyle {|(x-2)+(y+1)i|}={3}$, ולכן $\displaystyle {(x-2)^2+(y+1)^2}={9}$.
• $\displaystyle |z-z_0|\le R$ הוא העיגול – המעגל וכל הנקודות שבתוכו; $\displaystyle |z-z_0|>R$ – הנקודות שמחוץ לו.

$\displaystyle {|z-z_1|}={|z-z_2|}$: $\displaystyle z$ במרחק שווה מ-$\displaystyle z_1$ ומ-$\displaystyle z_2$ – האנך האמצעי לקטע $\displaystyle z_1z_2$. בדוגמה שלפניכם $\displaystyle {|z-1|}={|z-i|}$:

• הנקודות במרחק שווה מ-$\displaystyle 1$ ומ-$\displaystyle i$: האנך האמצעי לקטע שבין $\displaystyle (1,0)$ ל-$\displaystyle (0,1)$.
• אלגברית: $\displaystyle {(x-1)^2+y^2}={x^2+(y-1)^2}$, ואחרי צמצום $\displaystyle {-2x}={-2y}$, כלומר $\displaystyle {y}={x}$.

תנאי על החלק הממשי או על החלק המדומה הוא משוואה ישירה ב-$\displaystyle x$ וב-$\displaystyle y$:

• $\displaystyle {\operatorname{Re}(z)}={3}$ הוא $\displaystyle {x}={3}$ – ישר מקביל לציר המדומה.
• $\displaystyle {\operatorname{Im}(z)}={-1}$ הוא $\displaystyle {y}={-1}$.
• $\displaystyle {\operatorname{Im}(z)}={2\operatorname{Re}(z)+1}$ הוא $\displaystyle {y}={2x+1}$.
• $\displaystyle {z+\bar{z}}={4}$ הוא $\displaystyle {2x}={4}$, כלומר $\displaystyle {x}={2}$.

כשהיחס בין המרחקים משתי נקודות קבוע, $\displaystyle m>0$ ו-$\displaystyle m\neq1$, המקום הוא מעגל – מעגל אפולוניוס. בדוגמה שלפניכם $\displaystyle {|z|}={2|z-3|}$:

• $\displaystyle {x^2+y^2}={4\left[(x-3)^2+y^2\right]}$.
• $\displaystyle {3x^2+3y^2-24x+36}={0}$, ומחלוקה ב-3: $\displaystyle {x^2+y^2-8x+12}={0}$.
• השלמה לריבוע: $\displaystyle {(x-4)^2+y^2}={4}$ – מעגל שמרכזו $\displaystyle 4$ ורדיוסו 2.

כש-$\displaystyle {m}={1}$ זה האנך האמצעי.

כתבו את המקום הגאומטרי כמשוואה ב-$\displaystyle x$ וב-$\displaystyle y$ בשורה של הלוח.
$\displaystyle {|z+1-3i|}={2}$

כתבו את המקום הגאומטרי כמשוואה ב-$\displaystyle x$ וב-$\displaystyle y$, ותארו אותו במילים.
$\displaystyle {|z+3i|}={|z-1|}$

כתבו את המקום הגאומטרי כמשוואה ב-$\displaystyle x$ וב-$\displaystyle y$, ומצאו את המרכז ואת הרדיוס.
$\displaystyle {|z+3|}={2|z|}$

כתבו את התחום כאי־שוויון ב-$\displaystyle x$ וב-$\displaystyle y$.
$\displaystyle |z-1-i|\le2$

הלוח מראה מעגל.
כתבו את המשוואה שלו ב-$\displaystyle x$ וב-$\displaystyle y$, ואחר כך כתבו אותו בצורה $\displaystyle {|z-z_0|}={R}$.

$\displaystyle {z\cdot\bar{z}+2\operatorname{Re}(z)}={8}$.
כתבו את המקום כמשוואה ב-$\displaystyle x$ וב-$\displaystyle y$, וזהו אותו.