דלג לתוכן

ערך מוחלט ומספר צמוד

מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל) שיעור 4 מתוך 18לימוד

ערך מוחלט ומספר צמוד

הערך המוחלט

הערך המוחלט של z=a+bi\displaystyle {z}={a+bi} הוא המרחק של הנקודה (a,b)\displaystyle (a,b) מראשית הצירים – לפי משפט פיתגורס:

∣z∣\displaystyle |z| =\displaystyle = a2+b2\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}
  • ∣3−4i∣=9+16=5\displaystyle {|3-4i|}={\sqrt{9+16}}={5}.
  • ∣−2i∣=2\displaystyle {|-2i|}={2}, ו-∣−7∣=7\displaystyle {|-7|}={7}: במספר ממשי זה הערך המוחלט שאתם מכירים.
  • z⋅zˉ=a2+b2\displaystyle {z\cdot\bar{z}}={a^2+b^2}, ולכן z⋅zˉ=∣z∣2\displaystyle {z\cdot\bar{z}}={|z|^2}.

במספרים מרוכבים אין יחס סדר, אבל הערכים המוחלטים שלהם הם מספרים ממשיים, ואותם אפשר להשוות: ∣3+4i∣>∣1+i∣\displaystyle |3+4i|>|1+i|.

המרחק בין שתי נקודות

z1−z2\displaystyle z_1-z_2 הוא הווקטור מ-z2\displaystyle z_2 אל z1\displaystyle z_1, ולכן ∣z1−z2∣\displaystyle |z_1-z_2| הוא האורך שלו – המרחק בין הנקודות:

∣z1−z2∣\displaystyle |z_{1}-z_{2}| =\displaystyle = (a1−a2)2+(b1−b2)2\displaystyle \sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}}

המרחק בין 2+3i\displaystyle 2+3i ל-−1−i\displaystyle -1-i: ∣(2+3i)−(−1−i)∣=∣3+4i∣=5\displaystyle {|(2+3i)-(-1-i)|}={|3+4i|}={5}.

תכונות הצמוד והערך המוחלט

את התכונות האלה מוכיחים בהצבה z=a+bi\displaystyle {z}={a+bi}:

  • z+zˉ=2a=2Re⁡(z)\displaystyle {z+\bar{z}}={2a}={2\operatorname{Re}(z)} – מספר ממשי.
  • z−zˉ=2bi=2iIm⁡(z)\displaystyle {z-\bar{z}}={2bi}={2i\operatorname{Im}(z)} – מספר מדומה טהור, או 0.
  • z1+z2‾=zˉ1+zˉ2\displaystyle {\overline{z_1+z_2}}={\bar{z}_1+\bar{z}_2} ו-z1⋅z2‾=zˉ1⋅zˉ2\displaystyle {\overline{z_1\cdot z_2}}={\bar{z}_1\cdot\bar{z}_2}.
  • zˉˉ=z\displaystyle {\bar{\bar{z}}}={z} ו-∣zˉ∣=∣z∣\displaystyle {|\bar{z}|}={|z|}.
  • ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣\displaystyle {|z_1\cdot z_2|}={|z_1|\cdot|z_2|} ו-∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\displaystyle {\left|\frac{z_1}{z_2}\right|}={\frac{|z_1|}{|z_2|}}.
  • z\displaystyle z ממשי בדיוק כש-zˉ=z\displaystyle {\bar{z}}={z}.

הוכחה של ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣\displaystyle {|z_1\cdot z_2|}={|z_1|\cdot|z_2|}: ∣z1z2∣2=z1z2⋅z1z2‾=z1zˉ1⋅z2zˉ2=∣z1∣2∣z2∣2\displaystyle {|z_1z_2|^2}={z_1z_2\cdot\overline{z_1z_2}}={z_1\bar{z}_1\cdot z_2\bar{z}_2}={|z_1|^2|z_2|^2}, ושני הצדדים אינם שליליים.

אי־שוויון המשולש

במקבילית שקודקודיה 0\displaystyle 0, z1\displaystyle z_1, z2\displaystyle z_2 ו-z1+z2\displaystyle z_1+z_2, הצלעות היוצאות מראשית הצירים הן באורכים ∣z1∣\displaystyle |z_1| ו-∣z2∣\displaystyle |z_2|, והאלכסון באורך ∣z1+z2∣\displaystyle |z_1+z_2|. במשולש, צלע קצרה מסכום שתי הצלעות האחרות, ולכן:

∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\le|z_{1}|+|z_{2}|

השוויון מתקיים רק כש-z1\displaystyle z_1 ו-z2\displaystyle z_2 באותו כיוון מראשית הצירים (או כשאחד מהם 0).

משוואות עם zˉ\displaystyle \bar{z} ו-∣z∣\displaystyle |z|

במשוואה שיש בה zˉ\displaystyle \bar{z} או ∣z∣\displaystyle |z| מציבים z=a+bi\displaystyle {z}={a+bi}, ומשווים את החלקים הממשיים ואת החלקים המדומים. בדוגמה שלפניכם נפתור את ∣z∣+z=2+8i\displaystyle {|z|+z}={2+8i}:

  • a2+b2+a+bi=2+8i\displaystyle {\sqrt{a^2+b^2}+a+bi}={2+8i}.
  • החלקים המדומים: b=8\displaystyle {b}={8}.
  • החלקים הממשיים: a2+64=2−a\displaystyle {\sqrt{a^2+64}}={2-a}. מעלים בריבוע: a2+64=4−4a+a2\displaystyle {a^2+64}={4-4a+a^2}, ולכן a=−15\displaystyle {a}={-15}.
  • בדיקה: 2−a=17≥0\displaystyle {2-a}={17\geq0}, ו-225+64=17\displaystyle {\sqrt{225+64}}={17}. הפתרון: z=−15+8i\displaystyle {z}={-15+8i}.
תרגיל 1

חשבו.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          במישור גאוס A=2+i\displaystyle {A}={2+i}, B=5+5i\displaystyle {B}={5+5i} ו-C=−2+4i\displaystyle {C}={-2+4i}.
          חשבו את אורכי הצלעות של המשולש ABC\displaystyle ABC.

          א

          AB=∣B−A∣\displaystyle {AB}={|B-A|}

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

            AC=∣C−A∣\displaystyle {AC}={|C-A|}

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ג

              BC=∣C−B∣\displaystyle {BC}={|C-B|}

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ד

                איזה משולש הוא ABC\displaystyle ABC? נמקו.

                תרגיל 3

                פתרו. הציבו z=a+bi\displaystyle {z}={a+bi}, והשוו את החלקים הממשיים ואת החלקים המדומים.

                א
                  ב
                    ג
                      ד
                        תרגיל 4

                        קבעו אם הטענה נכונה תמיד, והסבירו – באלגברה או במישור גאוס.

                        א

                        z1−z2‾=zˉ1−zˉ2\displaystyle {\overline{z_1-z_2}}={\bar{z}_1-\bar{z}_2}

                        ב

                        ∣z1+z2∣=∣z1∣+∣z2∣\displaystyle {|z_1+z_2|}={|z_1|+|z_2|}

                        ג

                        z⋅zˉ=z2\displaystyle {z\cdot\bar{z}}={z^2}